Si scriva l'equazione dell'asse del segmento i cui estremi sono i punti
[math](a;2),(6;4)[/math]
. Si determini poi [math]a[/math]
in modo che il punto [math](2;3)[/math]
appartenga a tale asse. Svolgimento Indichiamo con
[math]A[/math]
il punto di coordinate [math](a;2)[/math]
e con [math]B[/math]
quello di coordinate [math](6;4)[/math]
L'asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento
[math]\bar{AB}[/math]
; cioè [math]P[/math]
è un puno dell'asse di [math]\bar{AB}[/math]
, se e solo se si ha:
[math]\bar{AP}=\bar{PB}[/math]
. Indichiamo con (x,y) le coordinate del generico punto e ricordando la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano:
[math]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]
La relazione
[math]\bar{AP}=\bar{PB}[/math]
la possiamo riscrivere nel seguente modo:
[math]\sqrt{(x-a)^2+(y-2)^2}=\sqrt((x-6)^2+(y-4)^2)[/math]
Elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione, sviluppando i calcoli e semplificando si ha:
[math](x-a)^2+(y-2)^2=(x-6)^2+(y-4)^2[/math]
;
[math]x^2+a^2+2ax+y^2-4y+4=x^2+36-12x+y^2+16-8y[/math]
;
[math]12x-2ax+4y-48+a^2=0[/math]
.
[math]2x(6-a)+4y-48+a^2=0[/math]
Quest'ultima rappresenta l'equazione dell'asse di [math]\bar{AB}[/math]
: Indicando con
[math]C[/math]
il punto di coordinate [math](2;3)[/math]
, dobbiamo verificare per quali valori di [math]a[/math]
il punto appartiene all'asse, ovvero per quali valori di [math]a[/math]
le sue coordinate soddisfano l'equazione
[math]2x(6-a)+4y-48+a^2=0[/math]
. Sostituendo in tale equazione: [math]x=2 ^^ y=3[/math]
, otteniamo
[math]2 \cdot 2(6-a)+(4+3)-48+a^2=0[/math]
;
[math]4(6-a)+12-48+a^2=0[/math]
;
[math]24-4a+12-48+a^2=0[/math]
; Semplificando
[math]a^2-4a-12=0[/math]
Risolviamo l'equazione di secondo grado:
[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1 \cdot (-12))=4+12=16[/math]
[math]a_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(2+-\sqrt(16))=2+-4 => a_1=6 vv a_2=-2[/math]
. Quindi l'equazione è verificata per
[math]a_1=6 vv a_2=-2[/math]
.
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