Le funzioni paraboliche

A T

D

M P

(x,y)

FUOCO x

u N V(1/2,0)

O t

P 1 D

I R ET T RI C

E

=

1

p

f i g .

1 le aree

Siano x e y le coordinate del punto P. Indicando rispettivamente con S e S 1

tratteggiate dei triangoli mistilinei OPV e NPV (figura 1), abbiamo:

1

= + ,

S xy S

1

2

per il teorema di Archimede è: 2 1

= − ,

S ( x ) y

1 3 2

dunque: 1 2 1

= + − (2.1)

(

S xy x ) y

2 3 2

e ricavando x dalla (1.5): 2 2

−

1 1 y 2 1 1 y

= − + − ,

S ( ) y ( ) y

2 2

2 2 2 3

cioè 1 1

3

= + ,

S y y

12 4

raddoppiando ambo i membri e ponendo t = 2 S , abbiamo

1 1

3

= +

t y y , (2.2)

6 2

ossia 3 + − =

y 3 y 6 t 0 , (2.3)

dove t è il parametro che denota il doppio dell’area del settore parabolico OPV, ovvero

l’area del settore OPP .

1

Analogamente procediamo alla ricerca dell’equazione in x, ricavando y dalla (1.5) e

sostituiamo detto valore nella (2.1):

1 2 1 1 1

= − + − − = − −

S x 1 2 x ( x ) 1 2 x (

1 x ) 1 2 x

2 3 2 3 2

che per t = 2S diventa 1

= − −

t ( 2 x ) 1 2 x ,

3

quadrando abbiamo 1

2 2

= − + − , (2.4)

t ( 4 4 x x )(

1 2 x )

9

cioè 9 9

3 2 2

− + + − = . (2.5)

x x 6 x t 2 0

2 2

Procediamo ora nella risoluzione delle equazioni cubiche (2.3) e (2.5), per trovare, come

indicato nelle (1.6), rispettivamente i valori di sinp t e cosp t.

Dalla (2.3) abbiamo che il discriminante è:

2 3

−

( 6

t ) 3 2

∆ = + = + .

9

t 1

4 27

∆ >

Basta osservare che, per , si ha

0 1

2 2

+ > > −

cioè .

9

t 1 0

, t 9

L’equazione risolvente è: 3

3

2 − − = ,

w 6

tw 0

27

dalla quale otteniamo: 2

= + +

w 3

t 9

t 1

1 2

= − +

w 3

t 9

t 1

2

per cui l’unica radice reale della (2.3) è data da

= +

3 3 ,

y w w

1 1 2

cioè 3 3

2 2

= + + + − + .

y 3

t 9

t 1 3

t 9

t 1

1

Non riportiamo i valori delle due radici complesse coniugate, dovendo ovviamente

p = 1 attribuiamo la

scartarle. Al rapporto tra l’unica radice reale trovata e il parametro

definizione di seno parabolico e il simbolo di sinp, come già detto in precedenza:

3 3

2 2

= + + + − +

t 3

t 9

t 1 3

t 9

t 1 . (2.6)

sinp

Risolviamo ora l’equazione cubica completa (2.5) e cioè

2

9 9

t

3 2

− + + − = :

x x 6 x 2 0

2 2

operiamo dapprima il cambiamento di variabile

9

− 3

2

= + = − ,

z x x

3 2

per cui essendo 3

= + (2.7)

x z

2

dalla (2.5) abbiamo: 3 2 

 

 

 3 9

3 9 3 2 ,

+ − =

+ +

− +

+ 

 

 

 2 0

6

z z z t

2 2

2 2 2 

 

 



dalla quale abbiamo l’equazione risolvente:

3 9 1

3 2

− + + = . (2.8)

z z t 0

4 2 4

Calcoliamo il discriminante della (2.8): 2 3

 

 

9 1 3

2 −

+  

 

t 9

2 4 4

 

  2 2 .

= +

+

∆ = (

9 1

)

t t

4 27 16

1

2 2 2

∆ > > −

+ >

Per si ha cioè .

0 t

9

t (

9

t 1

) 0 9

Alla (2.8) operiamo il cambiamento di variabile e abbiamo:

3



 3

− 





 1 4 



2 2 ,

=

−

+ + 

 9 0

v t v

4 27





cioè 1

2 2

+ + + =

4

v (

18 t 1

) v 0 ,

16

dalla quale otteniamo: 1 2 2

= + − −

v ( 6

t 9

t 1 18

t 1

)

1 8 1 2 2

= − + + +

v ( 6

t 9

t 1 18

t 1

).

2 8

L’unica radice reale è data da = +

3 3

z v v

1 1 2

che per la (2.7) diventa 3

= + +

3 3 ,

x v v

1 1 2

2

cioè 



3 1 3 3

 

2 2 2 2

cosp (2.9)

= + + − − − + + +

t 6

t 9

t 1 18

t 1 6

t 9

t 1 18

t 1

 

2 2  

la definizione di coseno parabolico e il simbolo di cosp , come

avendo attribuito a x / p

1

già detto in precedenza.

Oppure, essendo per la (1.7) 1 2

= − ,

cosp t (

1 sinp t )

2

e, per quanto già ottenuto con la (2.5), avremo più semplicemente:

 

2

 

1 3 3

 

2 2

 

= − + + + − + . (2.10)

cosp t 1 3

t 9

t 1 3

t 9

t 1

 

 

2  

 

Infine, dalle (2.2) e (2.4) abbiamo rispettivamente le funzioni paraboliche inverse:

1 1

−

1 2

= + , (2.11)

sinp y y ( y 1

)

2 3

1

−

1 = − − . (2.12)

cosp x ( 2 x ) 1 2 x

3

con le quali possiamo facilmente trovare, rispettivamente, l’area t del settore, il cui seno

parabolico è y, e quella del settore, il cui coseno parabolico è x.

3. Determinazione delle altre funzioni paraboliche e relazioni tra la variabile t e

l’angolo u. Valori tabulati delle funzioni paraboliche nei punti che delimitano i

quadranti.

Dai triangoli simili ONP e OVT abbiamo:

VT NP

= ,

OV ON

per cui: ⋅

OV NP

= .

VT ON

Il rapporto tra VT e il parametro p è la tangente parabolica che indicheremo col simbolo

tanp: sinp t

=

tanp . (3.1)

t 2 cosp t

In ONP è: u = N

Ô

P

ρ

OP = (u) (raggio vettore),

NP = y

ON = x. 2 2

ρ = +

Per il teorema di Pitagora ,

(

u ) x y

che per la (1.5) diviene: 2

ρ = + − = − ,

(

u ) x (

1 2 x ) 1 x

ossia ρ = − . (3.2)

(

u ) 1 cosp t

Considerando gli stessi triangoli di cui sopra, abbiamo:

OT OP

= ,

OV ON

per cui: ⋅

OV OP

= .

OT ON

Il rapporto tra OT e il parametro p è la secante parabolica che indicheremo col simbolo

secp: 1− cosp t

=

secp . (3.3)

t 2 cosp t

Alla determinazione della cotagente parabolica e della cosecante parabolica perverremo per

via analitica.

Premesso che la retta tangente nel punto A(0,1) ha l’equazione

y = - x + 1 2

e che la retta passante per l’origine 0 e per il punto T ha l’equazione

y = (2 tanp t ) x,

dal sistema = − +

 y x 1

 =

y ( 2 tanp t ) x



si possono avere le coordinate del punto d’intersezione D:

2 tanp t

1 e .

+ +

1 2 tanp t 1 2 tanp t

I rapporti AD/p e OD/p rappresentano, in funzione di tanp t, rispettivamente la cotagente

parabolica e la cosecante parabolica, che indicheremo con i simboli cotp e cscp, ovvero:

2

=

cotp t +

1 2 tanp t

e 2

+

1 4 tanp t

=

cscp ,

t +

1 2 tanp t

le quali possono essere espresse facilmente in funzione di sinp t e cosp t per la (3.1) e per la

(3.2). Cioè t

2 cosp

=

cotp (3.4)

t +

t t

sinp cosp

e

2 Il cui coefficiente angolare risulta essere 2 tanp t.

−

1 cosp t

=

cscp . (3.5)

t +

sinp t cosp t

Dalla (3.1), espressa in funzione di sinp t, e per x = tanp t, abbiamo

2

− ± + x

1 1 4

=

sinp t x

2

per cui è:  

2

− ± + x

1 1 4

 

− −

1 1

=

tanp = t , (3.6)

x sinp  

x

2

 

che è l’area del settore parabolico la cui tangente parabolica è x, con il segno:

+ se t è nel I o IV quadrante,

- se t è nel II o III quadrante.

Analogamente si ottengono: 

 1

− −

1 1

= 



secp x cosp ; (3.7)

+

2 x 1 



 

−

2 x

 

− −

1 1

= ± ; (3.8)

cotp x tanp  

2 x

 

 

2

± −

x 2 x 1

 

− −

1 1

=

cscp . (3.9)

x sinp  

+

x 1

 

Ora è opportuno trovare le relazioni tra t e l’angolo u. Per la (3.1) che può anche essere

scritta sinp t

= ,

tanp u 2 cosp t

abbiamo:  

+ − ≤ ≤



 se 2 / 3 t 2 / 3

t

sinp

−

1 



= ±  

, con . (3.10)

u tanp 

 2 cosp t − > < −

 



 se t 2 / 3 o se t 2 / 3

 

E, facilmente dalla (2.11), essendo y = sinp u, abbiamo:

2

u u

sinp sinp

= + , (3.11)

t (

1 )

2 3

che esprime il valore del doppio dell’area del settore parabolico delimitato dall’asse x,

dall’arco di parabola e dalla semiretta uscente dall’origine degli assi. Il campo di variazione

di t è −∞ < < +∞

t

e si ha:

t > 0 nel I e nel II quadrante,

t < 0 nel III e IV quadrante. 3

Valori tabulati delle funzioni paraboliche nei punti che delimitano i quadranti .

±∞

Area t 0 2/3 -2/3 0

Angolo u 0° 90° 180° 270° 360°

±∞

sinp 0 1 -1 0

−∞

cosp 1/2 0 0 1/2

±∞ ±∞

tanp 0 0 0

0 0

cotp 2 2 2

±∞ ∞

secp 1/2 - 1/2 ½

∓

cscp 1 1 -1 -1 1

3 In Appendice riportiamo i valori esatti delle funzioni paraboliche per argomenti speciali.

4. Estensione ad un angolo che può superare 90° e definizioni delle funzioni

paraboliche.

Per un angolo u di un quadrante qualsiasi le funzioni paraboliche di u sono definite come

segue: y

D

P A

y t

u x

(p/2,0)

V

x O

N y

PN

p = 1 = =

u

sinp

p p

P x

ON

1 = =

u

cosp

T p p

y

VT

f i

g .

2 = =

u

tanp

p x

2 x

AD 2

= =

u

cotp +

p x y

−

p x

OT = =

u

secp

p x