Simmetria delle figure: un'introduzione significativa alla matematica

Classificare: determinare tutti i possibili modelli di

simmetria e i criteri che permettono la loro organizzazione

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“Quanta” simmetria ha una figura ?

{id , ρ , σ , σ } {id , ρ , ρ , ρ }

π 1 2 π/2 π 3π/2

10 5

Per ottenere una “misura” della simmetria non è sufficiente

contare il numero di isometrie che portano la figura in sé.

Bisogna anche tener conto di come si compongono e della

loro “parità”.

I numeri misurano dimensioni, i gruppi misurano la

simmetria. 11

Classificazione delle isometrie piane

Teorema: le uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni,

riflessioni e glissoriflessioni. Le traslazioni e le rotazioni non

alterano la orientazione delle figure (sono pari, o destrorse),

le riflessioni e le glissoriflessioni sono isometrie dispari, o

sinistrorse. 12 6

Identità:

Traslazione: ..……

Rotazione:

Riflessione:

Glissoriflessione:

……… ……..

…….. ………. 13

Isometrie destrorse: :

Isometrie sinistrorse 14 7

Il principio del caleidoscopio

ogni gruppo di isometrie piane è il gruppo di simmetria

di una figura 15

Definizione: un gruppo G di isometrie piane è detto

discreto se per ogni punto A del piano esiste un

) in cui non sono

cerchio di centro A e (raggio r A

contenuti altri punti dell’orbita di A:

{g(A)| g A}

є 16 8

Teorema (del punto fisso): Un gruppo discreto di isometrie piane è

finito se e solo se ha almeno un punto fisso. Se non è finito

contiene almeno una traslazione. 17

I gruppi diedrali D

n

(gruppi di simmetria dei poligoni regolari)

. 2

D ={σ| σ =id }

1

. . 2 2

D ={σ, ρ| σ =ρ =id, ρσ=σρ}

2 18 9

2 3 2

D ={σ, ρ| σ =ρ =id, ρ σ=σρ}

3 2 4 3

={σ, ρ| σ =ρ =id, ρ σ=σρ}

D 4

............. 2 n n-1

={σ, ρ| σ =ρ =id, ρ σ=σρ}

D

n 19

I gruppi ciclici C

n

C ={id}

1 2

={ρ|ρ =id}

C

2 3

={ρ|ρ =id}

C 3 4

={ρ|ρ =id}

C 4 20 10

Teorema di Leonardo: Ogni gruppo di rosoni ha

almeno un punto fisso ed è un gruppo diedrale

oppure ciclico finito 21

Bramante, pianta originale di S. Pietro

Rosoni

Maya Egitto pre-dinastico

Periodo ionico 22 11

Gruppi di rosoni

C C C C C

1 2 3 4 5

D D D D D

1 2 3 4 5 23

I gruppi dei fregi

r1 ...PAPAPAPA...

r2 ...NONONON...

r1m ...MAMAMA...

r2mm ...HOHOHO...

r2mg ...↑↓↑↓↑↓↑↓.... 24 12

r11g ...↑E↓E↑E↓E...

r11m ...OKOKOK... 25

Alcuni fregi del paleolitico 26 13

Classificazione dei fregi

rotazioni ?

si

no

rifl. vert. ?

si rifl. orizz. ?

no no si

rifl. orizz. ? r1m

no si rifl. vert. ? r2mm

no si

r11m r2 r2mg

. ?

glissorifl

no si

r1 r11g 27

I gruppi dei mosaici

y x 28 14

Restrizione cristallografica : le rotazioni dei mosaici

possono avere ordine 1, 2, 3, 4 oppure 6 (ma non 5) 29

I gruppi cristallografici piani

Rotaz. π/6? Rifles.?

no no si

Rotaz. π/2? P6 P6m

no si

no no no no

Rotaz. π? Rotaz. 2π/3? Rifles.?

P1 Glissorifl.? Rifles.?

si si si

si si no Assi per

Glissorifl.? Rifles.? Rifles.?

Pg centri?

P4

no si no no si no si

Assi per

Glissorifl.? Centri di

Pm Cm P3 P4g P4m

centri? rotaz.?

no si no Centri di

P2 Pg4 Pmg rotaz.?

no no si

Cmm Pmm P31m P3m1 30 15

I gruppi cristallografici piani

o gruppi dei mosaici

o gruppi di carte da parati

o arabeschi Egitto

Egitto Cnosso

Egitto 31

32 16