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Sintesi
In questo appunto viene descritta in modo dettagliato la generazione di terne pitagoriche. Dopo una breve introduzione verranno forniti i concetti-chiave e la metodologia, con integrazione di documento inerente scaricabile in formato pdf.



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Significato di terna pitagorica


Le terne pitagoriche sono insiemi di
[math]3[/math]
numeri naturali non nulli
[math]x[/math]
,
[math]y[/math]
,
[math]z[/math]
, tali che il quadrato del più grande sia pari alla somma dei quadrati degli altri due. In simboli, dati
[math]x[/math]
,
[math]y[/math]
,
[math]z[/math]
con
[math]0<x<y<z[/math]
, si ha una terna pitagorica quando:

[math]x^2 + y^2 =z^2[/math]


Questo particolare set di numeri deve il suo nome, ovviamente, al famoso teorema di Pitagora. Infatti, analogamente, secondo il teorema di Pitagora, dato un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa (lato più lungo del triangolo) è equivalente all'unione dei quadrati costruiti sui cateti. Per cui, in formule dati i cateti
[math]a [/math]
e
[math]b [/math]
e l'ipotenusa
[math]c[/math]
, il teorema di Pitagora afferma che:

[math]a^2 + b^2 = c^2[/math]


Le terne pitagoriche sono infinite. Diversi esempi di terne pitagoriche sono riportate qui di seguito:

[math](3, 4, 5);(7, 24, 25);(15, 20, 25);(10, 24, 26);(20, 21, 29);(18, 24, 30);(16, 30, 34);(21, 28, 35);(12, 35, 37);(15, 36, 39);(24, 32, 40);(20, 48, 52);(28, 45, 53);(33, 44, 55);(40, 42, 58);(25, 60, 65);(33, 56, 65);(39, 52, 65);(32, 60, 68);(42, 56, 70);(48, 55, 73);(24, 70, 74);(21, 72, 75);(45, 60, 75);(30, 72, 78);(48, 64, 80);(18, 80, 82);(13, 84, 85);(36, 77, 85);(40, 75, 85);(51, 68, 85);(60, 63, 87);(39, 80, 89);(54, 72, 90);(35, 84, 91);(57, 76, 95);(65, 72, 97);(28, 96, 100);(60, 80, 100).[/math]


Tipologie di terne pitagoriche


Fra queste terne pitagoriche, poi, ve ne sono di peculiari. Si dicono terne pitagoriche primitive quelle terne che presentano numeri senza divisori comuni. In altre parole, sono dette terne pitagoriche primitive quelle terne costituite da numeri primi fra loro.
Generalmente, per stabilire che siamo di fronte ad una terna pitagorica, occorre verificare che i
[math]3[/math]
numeri siano interi positivi, calcolare il loro quadrato, individuare il quadrato maggiore e porlo come risultato della somma dei quadrati degli altri due numeri. Se l'uguaglianza viene rispettata, ovvero se il valore del quadrato più grande equivale alla somma degli altri due quadrati, allora siamo di fronte ad una terna pitagorica.
Nel caso delle terne pitagoriche primitive, per verificare che i numeri siano tra loro numeri primi, dobbiamo verificare innanzitutto che il loro massimo comun divisore sia pari ad
[math]1[/math]
.
Ad esempio, costituiscono terne pitagoriche primitive i seguenti set di numeri:

[math](3, 4, 5); (7, 24, 25);[/math]


Costruzione di terne pitagoriche


Se prendiamo come riferimento una terna pitagorica qualunque, ad esempio
[math] (x, y, z) [/math]
, per creare una nuova terna pitagorica basta moltiplicare la terna di partenza per un numero naturale positivo
[math] k[/math]
. La nuova terna sarà dunque
[math] (kx, ky, kz)[/math]
ed è comunque una terna pitagorica.
Ad esempio, riprendiamo la terna pitagorica precedente
[math](3,4,5)[/math]
. Se la moltiplichiamo per uno stesso numero naturale positivo, ad esempio
[math]2[/math]
, otteniamo:

[math] 3 \cdot 2=6[/math]


[math] 4 \cdot 2=8[/math]


[math] 5 \cdot 2=10[/math]


[math](6,8,10)[/math]
che è a sua volta una terna pitagorica. Pertanto, partendo da una singola terna possiamo creare infinite terne pitagoriche moltiplicandole per uno stesso fattore.
Un altro modo di creare una terna pitagorica è scegliendo arbitrariamente due numeri naturali non nulli come
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
con
[math]a<b[/math]
.
Allora avremo che, secondo la metodologia sviluppata da Euclide intorno al 320 a.C., i seguenti numeri formeranno una terna pitagorica:

[math]x= b^2-a^2[/math]


[math]y=2 \cdot a \cdot b[/math]


[math]z=b^2+a^2[/math]


Ad esempio, stabilendo che
[math]a=4[/math]
e
[math]b=6[/math]
, avremo che:

[math]x= 6^2-4^2=20[/math]


[math]y=2 \cdot 4 \cdot 6=48[/math]


[math]z=6^2+4^2=52[/math]


Pertanto,
[math](20,48,52)[/math]
formano una terna pitagorica, infatti:

[math]x^2=20^2=400[/math]


[math]y^2=48^2=2304[/math]


[math]z^2=52^2=2704[/math]


che restituisce l’uguaglianza:

[math]52^2=48^2+20^2[/math]


[math]2707=2304+400=2704[/math]


Per risalire alla terna primitiva di partenza, invece, data una terna primitiva generica, possiamo andare a individuare i divisori di ogni numero ed epurare la terna del massimo comun divisore, in modo tale che la terna sia formata da numeri primi fra loro.
Ad esempio, data la terna derivata
[math](27, 36, 45)[/math]
possiamo risalire alla sua primitiva risalendo al loro massimo comun divisore. I divisori dei numeri sono riportati di seguito:

[math]d(27)= 3^3 \cdot 1[/math]


[math]d(36)= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 1[/math]


[math]d(45)= 3^2 \cdot 5 \cdot 1[/math]


Pertanto, il massimo comun divisore della terna è
[math]3^2 \cdot 1 = 9[/math]
, e la terna primitiva si individua dividendo la terna derivata di partenza per il massimo comun divisore, ovvero:

[math]\frac{27}{9}=3[/math]


[math]\frac{36}{9}=4[/math]


[math]\frac{45}{9}=5[/math]


Ottenendo, infine, la terna primitiva
[math](3,4,5)[/math]
.

Esercizi


Esercizio 1: Verificare che
[math](36,77,85)[/math]
è una terna pitagorica.
Appurato che
[math]36[/math]
,
[math]77[/math]
,
[math]85[/math]
sono numeri interi positivi, procediamo con il calcolare il loro quadrato:

[math]36^2=1296[/math]


[math]77^2=5929[/math]


[math]85^2=7225[/math]


Dal momento che
[math]85^2=7225[/math]
è il quadrato più grande, lo pongo come risultato dell'addizione degli altri due quadrati, ovvero:

[math]77^2+36^2[/math]


Verifico che l’uguaglianza sia rispettata:

[math]77^2+36^2 = 85^2[/math]


[math]7225=7225[/math]


Dal momento che l’uguaglianza è rispettata possiamo dire che
[math](36,77,85)[/math]
è una terna pitagorica.
Esercizio 2: Verificare che
[math](7, 24,25)[/math]
sia una terna pitagorica primitiva.
Appurato che
[math]7[/math]
,
[math]24[/math]
,
[math]25 [/math]
sono numeri interi positivi, procediamo con il calcolo dei quadrati per verificare che sia una terna primitiva:

[math]7^2=49[/math]


[math]24^2=576[/math]


[math]25^2=625[/math]


Sommo i quadrati minori:

[math]7^2+ 24^2[/math]


Verifico che l’uguaglianza sia rispettata:

[math]25^2=7^2+ 24^2[/math]


[math]625=625[/math]




Pertanto, la terna di numeri
[math](7, 24,25)[/math]
è una terna pitagorica. Adesso, per verificare che sia una terna pitagorica primitiva, passiamo ad analizzare il massimo comun divisore. I divisori di
[math]7[/math]
,
[math]24[/math]
,
[math]25[/math]
sono i seguenti:

[math]d(7)= 7, 1[/math]


[math]d(24)= 2^3, 3, 1[/math]


[math]d(25)= 5^2, 1[/math]


Quindi, il massimo comune divisore della terna di numeri
[math](7, 24,25)[/math]
è
[math]1 [/math]
e dunque la terna pitagorica è primitiva.

Per maggiori informazioni sui numeri primi, vedi qui
Estratto del documento

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

-----------------------------------------------------------------

le terne relative a -889701311 sono primitive

valori iniziali: x = 18141 y = 24686

1 2443550525 2114454644 1224753333

2 14009067529 9451062360 10340763671

3 81610854649 58150724760 57261023449

4 475656060365 335894480956 336784182267

5 2772325507541 1960774966220 1959885264909

6 16158296984881 11425196511120 11426086212431

7 94177456401745 66593962905744 66593073204433

8 548906441425589 388135022118100 388135911819411

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

PRIME 16 TERNE CON DIFFERENZA FRA I CATETI PARI A 889701311

tempo di calcolo: 0 secondi

Esempio 2

Quale differenza N vuoi fra i due cateti? 1000000000007

le terne relative a 1000000000007 sono primitive;

valori iniziali: x = 1014955 y= 122747

1 1309432666813 279299014788 1279299014795

2 7045494059605 5456762378004 4456762377997

3 40963531690817 28461275253208 29461275253215

4 238735696085297 169310889141272 168310889141265

5 1391450644820965 983404059594396 984404059594403

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

---------------------------------------------------------------------------

le terne relative a-1000000000007 sono primitive;

valori iniziali: x = 499521 y= 790418

1 2288703238445 2039182009004 1039182008997

2 13022837751337 8694952503888 9694952503895

3 75848323269577 54130533014352 53130533014345

4 442067101866125 312088245582196 313088245582203

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

PRIME 9 TERNE PRIMITIVE CON DIFFERENZA FRA I CATETI PARI A 1000000000007

tempo di calcolo: .21875 secondi 8

Esempio 3

Se per il valore |N| scelto quale differenza fra i due cateti non esistono terne pitagoriche primitive

eseguendo il programma sullo schermo del monitor comparirà un risultato come quello qui

presentato per |N| = 3

Quale differenza N vuoi fra i due cateti? 3

per N = 3 NON ci sono TERNE PRIMITIVE

Esempio 4

Quale differenza N vuoi fra i due cateti? 47

le terne relative a 47 sono primitive;

valori iniziali: x = 7 y = 1

1 65 16 63

2 353 272 225

3 2053 1428 1475

4 11965 8484 8437

5 69737 49288 49335

6 406457 287432 287385

7 2369005 1675116 1675163

8 13807573 9763452 9763405

9 80476433 56905408 56905455

10 469051025 331669184 331669137

11 2733829717 1933109508 1933109555

12 15933927277 11266988052 11266988005

13 92869733945 65668818616 65668818663

14 541284476393 382745923832 382745923785

15 3154837124413 2230806724188 2230806724235

16 18387738270085 13002094421484 13002094421437

17 107171592496097 75781759804528 75781759804575

18 624641816706497 441688464405872 441688464405825

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

---------------------------------------------------------------------

le terne relative a -47 sono primitive;

valori iniziali: x = 5 y= 6

1 157 132 85

2 905 616 663

3 5273 3752 3705

4 30733 21708 21755

5 179125 126684 126637

6 1044017 738208 738255

7 6084977 4302752 4302705

8 35465845 25078116 25078163

9 206710093 146166132 146166085

10 1204794713 851918488 851918535

11 7022058185 4965344984 4965344937

12 40927554397 28940151228 28940151275

13 238543268197 168675562572 168675562525

14 1390332054785 983113224016 983113224063

15 8103449060513 5730003781712 5730003781665

16 47230362308293 33396909466068 33396909466115

17 275278724789245 194651453014884 194651453014837

TERNA IPOTENUSA CATETO CATETO

PRIME 35 TERNE CON DIFFERENZA FRA I CATETI PARI A 47

tempo di calcolo: .046875 secondi 9

Considerando sempre il programma in con semplici modifiche ed opportune istruzioni da

Allegato1,

effettuare su di esso si possono ricavare entro uno scelto campo di valori tutti e soli i valori di N

per i quali esistono terne pitagoriche primitive, come pure il loro numero e la loro percentuale

rispetto al totale dei valori esplorati. Ad esempio nel campo esplorato 40001 ÷ 5000 si può

ottenere sullo schermo del monitor il riquadro sottostante in cui compaiono tutti e soli i valori

positivi e negativi di N per i quali esistono terne primitive con una percentuale de 9.5 % per valori

positivi di N e del 9.2% per valori negativi di N

da quale N iniziale ? 4000

a quale N finale ? 5000

Valori di | N | fra 4000 e 5000 per i quali ci sono terne pitagoriche primitive:

4001 4007 4039 4049 4057 4063 4073 4079 4097 4111 4127 4129 4151

4153 4159 4177 4183 4193 4201 4207 4217 4223 4231 4241 4247 4249

4271 4273 4289 4297 4319 4327 4337 4361 4369 4391 4393 4409 4417

4423 4439 4441 4447 4457 4463 4471 4481 4487 4513 4519 4529 4559

4561 4567 4577 4583 4591 4607 4633 4639 4649 4657 4663 4673 4679

4681 4703 4711 4721 4729 4751 4753 4759 4777 4783 4793 4799 4801

4817 4831 4841 4871 4879 4889 4903 4913 4919 4937 4943 4951 4967

4969 4991 4993 4999

numero di valori positivi di N per i quali vi sono terne primitive: 95

----------------------------------------------------------------------------------------------------

-4001 -4007 -4039 -4049 -4057 -4063 -4073 -4079 -4097 -4111 -4127 -4129 -4151

-4153 -4159 -4177 -4183 -4193 -4201 -4207 -4217 -4223 -4231 -4241 -4247 -4249

-4271 -4273 -4289 -4297 -4319 -4327 -4337 -4369 -4391 -4393 -4409 -4417 -4423

-4439 -4441 -4447 -4457 -4463 -4471 -4481 -4487 -4513 -4519 -4529 -4559 -4561

-4567 -4577 -4583 -4591 -4607 -4633 -4639 -4649 -4657 -4663 -4673 -4679 -4681

-4703 -4711 -4721 -4729 -4751 -4759 -4777 -4783 -4793 -4799 -4801 -4817 -4831

-4841 -4871 -4879 -4889 -4903 -4919 -4937 -4943 -4951 -4967 -4969 -4991 -4993

-4999

numero di valori negativi di N per i quali vi sono terne primitive: 92

numero totale di valori positivi e negativi di N per i quali vi sono terne primitive: 187

), dove le operazioni aritmetiche vengono eseguite con una

Con il 2° programma (

Allegato 2

adeguata aritmetica a precisione multipla anche qui introducendo un N qualsiasi ( N = differenza di

valore fra i due cateti ) entro il campo 1÷10^9 di possibili suoi valori ed eseguendo il programma si

scopre innanzitutto se le terne relative a tale N sono primitive o meno: se non sono primitive si

termina il programma, se invece esistono si vanno a calcolare i valori anche molto grandi della

prendendo in

ipotenusa e dei due cateti relativi alla terna ennesima primitiva prescelta,

considerazione per l’ordine delle terne il valore crescente della ipotenusa.

Qui di seguito si mostra nella TABELLA 4 qualche esempio riguardante i tempi necessari per il

calcolo dei valori numerici dell’ipotenusa e dei cateti riguardanti la terna ennesima prescelta in

relazione al valore N considerato, dando anche il numero di cifre di cui risulta composto il valore

della ipotenusa. 10

TABELLA 4

N TERNA n° cifre tempo di calcolo

ipotenusa (secondi)

a

123457 100 44 immediato

a

123457 500 197 0. 06

a

123457 1000 388 0. 1

a

123457 5000 1919 1. 5

a

123457 10000 3833 5. 5

a

123457 15000 5747 11. 9

a

123457 20000 7661 20. 8

a

123457 30000 11489 45. 5

a

123457 40000 15316 80. 5

a

123457 50000 19144 124. 3

Nella TABELLA 5 vengono riportati per diversi valori di N il numero di cifre che compongono

il valore numerico dell’ipotenusa ed il tempo impiegato per il calcolo dei valori dell’ipotenusa e

a terna primitiva

dei cateti relativi alla 10000 TABELLA 5

N TERNA n° cifre della tempo di calcolo

Ipotenusa ( secondi )

a

1 10000 7656 20. 9

a

7 10000 3829 5. 49

a

41 10000 3829 5. 49

a

829 10000 3831 5. 49

a

6991 10000 3832 5. 5

a

49871 10000 3833 5. 49

a

123457 10000 3833 5. 5

a

1234567 10000 3834 5. 48

a

54267337 10000 3836 5. 5

a

94465519 10000 3836 5. 5

a

889701311 10000 3837 5 .5

a

1000000007 10000 3837 5. 54

a

57485271799199 10000 3847 7. 80 11

Si riportano alcuni risultati ottenibili con il programma dell’ALLEGATO 2 a

: riguarda il calcolo dei valori dei cateti e della ipotenusa relativi alla 1000 terna con

1° ESEMPIO

differenza fra i cateti pari a N = ± 103

quale terna n -esima vuoi visualizzare? 1000 –esima

quale differenza N vuoi fra i cateti ? 103

per N = 103 si hanno terne primitive

valori iniziali per N = 103 : x = 11 y = 3

per N =-103 si hanno terne primitive

valori iniziali per N = -103 : x = 5 y = 8

valore del CATETO 1

1644201 5637823 9060551 1515357 4468539 1049083 0561460 5969490 1538214 4359910

2889365 3856094 6921009 9013590 9774860 5329182 0099160 5175905 0629035 6028735

3693480 2115155 7706243 9901304 9899228 6023473 7174635 5250427 6678436 2482503

6421106 7035065 8761392 4187496 8031438 1545012 4638040 7698016 9479649 4196608

5121192 9529669 2445022 9088390 4431030 4589031 5054645 8531511 0489618 4803549

4911660 4924233 0348447 2746021 0140584

numero di cifre del cateto 1: 385 valore del CATETO 2

1644201 5637823 9060551 1515357 4468539 1049083 0561460 5969490 1538214 4359910

2889365 3856094 6921009 9013590 9774860 5329182 0099160 5175905 0629035 6028735

3693480 2115155 7706243 9901304 9899228 6023473 7174635 5250427 6678436 2482503

6421106 7035065 8761392 4187496 8031438 1545012 4638040 7698016 9479649 4196608

5121192 9529669 2445022 9088390 4431030 4589031 5054645 8531511 0489618 4803549

4911660 4924233 0348447 2746021 0140687

numero di cifre del cateto 2: 385 valore dell'IPOTENUSA

2325252 1507761 0827377 4980904 2029816 2819676 8996621 8332120 4726288 2004174

0044324 1456420 5807270 0081609 1220733 0082069 2606560 5556111 7193162 9244254

5595893 4630823 1217341 1898932 6996158 3921470 8740126 0291884 3751341 2904564

4845349 1195895 9596652 7361972 8585828 4646977 7676020 7628168 9986979 0602651

1912006 2672002 1452076 4504238 2438561 1192231 8511338 4038987 1961459 5666901

4989701 6649695 6520050 1864493 4060305

numero di cifre dell'ipotenusa: 385

tempo di calcolo: 0. 05078125 secondi 12

a

riguarda il calcolo dei valori dei cateti e della ipotenusa relativi alla 2000

2° ESEMPIO : terna

con differenza fra i cateti pari a N = ± 7

quale terna n-esima vuoi visualizzare? 2000

quale differenza N vuoi fra i cateti? 7

le terne sono primitive

valori iniziali per N = 7 : x = 3 y = 1

le terne sono primitive

valori iniziali per N = -7 : x = 1 y = 2

valore del CATETO 1

718 1938478 8237243 9955152 7671394 5614062 3917917 1531055 9848138 2770597

7785888 1164096 6436498 3415616 9844018 6176412 9280191 6942875 7683967 8350633

9769508 2574673 4409251 2690549 6483646 3630090 7283649 2138464 9298984 5034896

4722689 8350308 3391193 9209655 1007210 2645582 2028974 0093524 4206256 5797181

6827706 3459290 2339492 6399239 0567629 2701261 7251199 3667102 5086182 7956428

9839174 1041758 6087409 0673114 0554256 3957060 4217857 1664157 9635455 7617180

4393078 7550201 7093375 8398900 1023223 5628914 4018126 6429805 3124482 0623105

2696136 2167541 4896509 9717260 3133125 3483191 6160913 7836830 5776318 0305096

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adminv15
21 pagine