Ettagono: studio di una figura geometrica poligonale

Introduzione

L’ottagono è un poligono con otto lati. Se essi sono tutti uguali, si dice che l’ettagono è regolare.
Ogni angolo interno misura 135°. Se tracciamo le otto diagonali, notiamo che esse si incontrano in un punto e si vengono a formare 8 triangoli isosceli uguali: ogni triangolo ha l’angolo al centro di 45° e gli altri due misurano entrambi 67,50°. Se uniamo fra di loro tutti i vertici dell’ottagono, anche senza passare dal centro, otteniamo 20 triangoli. Si distingue anche l’ottagono concavo e l’ottagono convesso. Quest’ultimo è automaticamente quello regolare.

Come si costruisce un ottagono, dato il lato?

Supponiamo di dover costruire un ottagono con il lato che misura 8 cm. Innanzitutto, mi devo munire di un foglio protocollo quadrettato, di due squadre, di un lapis e di un compasso. Esistono diversi modi per costruire un ottagono: questo è fra i più semplici.
1) Con l’aiuto delle due squadre, disegno il lato AB, lungo 8 cm.
2) Disegno la sua asse che incontra il lato nel punto M; il lato AB viene così diviso in due part AM e MB
3) Con raggio AM, centro in M e descrivo un arco che incontra l’asse nel punto N
4) Con raggio NA, centro in N e descrivo un a nuovo arco che interseca l’asse nel punto O. Il punto O è il centro della circonferenza iscritta all’ottagono che vogliamo disegnare
5) A questo punto, con apertura OA, centro la punta del compasso in O e traccio una circonferenza
6) Con il compasso, riporta sulla circonferenza sei volte la lunghezza del lato AB
7) Hai ottenuto i punti H, G, F, E, D, C oltre a A e B. Unisco tali punti ed hai così’ ottenuto un ottagono

Come trovare l’incentro e il circocentro di un ottagono

L’incentro è il punto d’incontro delle bisettrici di tutti gli angoli, mentre il circocentro è il punto di incontro degli assi di ogni lato. Nell’ottagono regolare circocentro e incentro coincidono. La bisettrice di un angolo si può individuare con l’ausilio di un goniometro. Per disegnare l’asse di un lato si utilizzano le squadre, ricordando che l’asse passa per il punto medio del lato.

Come si calcola la somma degli angoli interni di un ottagono?

Dal numero dei lati si toglie 2 e il risultato (=6) si moltiplica per 180°. Il risultato è uguale a 1080°
Questa formula può essere applicata a tutti i poligoni, indipendentemente dal numero dei lati.

Come si calcola l’area?

Per calcolare l’area occorre sviluppare la figura. Riportiamo su di una linea retta gli otto lati; aggiungiamo l’altezza, che corrisponde all’altezza di uno degli otto triangoli da cui è diviso l’ottagono quando tracciamo le otto diagonali che passano dal centro. Tale altezza prende il nome di apotema e non è altro che il raggio del cerchio iscritto. Otteniamo, così, un triangolo, avente come base il perimetro dell’ottagono (= lato x 8) e per altezza l’apotema. Di conseguenza. S = 2p x apotema/2
L’area può essere anche calcolata in un altro modo, ossia area di un triangolo (S = lato x apotema/2) x 8

Come si calcola la misura dell’apotema?

Esistono due procedimenti:
1) Si applica il teorema di Pitagora ad uno degli otto triangoli, in cui l’ipotenusa = metà diagonale, il cateto minore = ½ lato e il cateto maggiore = apotema
2) Si moltiplica la misura del lato per il numero fisso che per l’ottagono è 1,207

Che cos’è il numero fisso?

Si tratta del rapporto esistente in ogni poligono fra apotema e lato, per cui esso varia da poligono a poligono. Se moltiplichiamo il numero fisso per 4, otteniamo il fattore area. Esempio
N° fisso dell’ottagono: 1.207
Fattore area dell’ottagono = 1,207 x 4 = 4.828
Il fattore area è utile per calcolare l’area, nel caso in cui si conosca la misura del lato, ossia
S ottagono = lato al quadrato x fattore area

Presenza dell’ottagono in architettura

L’ottagono è da sempre simbolo di rinascita e di passaggio perché permette il passaggio dal quadrato al cerchio. Un quadrato è solitamente il simbolo della Terra e quindi dell’umano e il cerchio, per la sua perfezione quello del Divino. Quindi l'ottagono è associato al passaggio tra Terra e Cielo, tra il materiale e lo spirituale. Il poligono a 8 lati fu la base di antichissimi edifici sia civili che religiosi. Il secondo piano del faro di Alessandria era ottagonale, punto di passaggio tra la struttura quadrata della base e la lanterna circolare del vertice.
L’ottagono lo ritroviamo nella pianta di alcuni edifici della Grecia classica, da cui, successivamente, si diffuse nei canoni dell’architettura romana. Anche nei secoli successivi, esso fu molto utilizzato, sia durante l’epoca rinascimentale che in quella barocca, probabilmente per il significato spirituale ed esoterico che è sempre stato riconosciuto a questa figura.