Dimostrazione Geometria 3D - Teorema delle tre perpendicolari

Teorema delle tre perpendicolari. α

Se dal punto H, piede della perpendicolare r condotta al piano da un punto Q, si conduce una retta a, α β perpendicolare a una retta b del piano, allora la retta b è perpendicolare al piano delle rette r e a.

Il teorema delle tre perpendicolari è uno degli strumenti più utili per indagare le proprietà delle figure geometriche in 3D, e consente, per esempio, di dirimere la maggior parte delle questioni più spinose proposte nei problemi sulle piramidi assegnati all'Esame di Stato.

La dimostrazione del teorema segue la falsariga della costruzione proposta nel documento 07. Si scelgono due punti sulla retta b, simmetrici rispetto al punto K; tramite il punto Q si costruisce il triangolo isoscele; e così via.

Esercizio 1

α α

Sul piano è dato un quadrato ABCD. Sia M un punto qualsiasi di AB. Da M si conduca la perpendicolare al piano α e, detto P un punto qualsiasi di tale perpendicolare, diverso da M, si dimostri che sono retti gli angoli PMA, PMB,

PMC, PBC, PAD, PMD.

Esercizio 2. α

Dimostrare che il luogo dei piedi delle perpendicolari alle rette di un piano passanti per uno stesso punto A, condotte da un punto B, è una circonferenza. Distinguere il caso in cui il punto B appartiene al piano α e il caso in cui il punto B non appartiene al piano α.