Dimostrazione Geometria 3D - Proiezione di una retta su un piano

α

Tutti i punti di una retta perpendicolare a un piano ammettono la stessa proiezione sul piano.

α α

La proiezione su un piano di una retta perpendicolare al piano è un punto.

α α

La proiezione di una figura su un piano è l'unione delle proiezioni sul piano di ciascuno dei

punti della figura. α per un punto P dello spazio, diverse dalla perpendicolare, sono dette

Le rette condotte a un piano α

rette oblique condotte dal punto P al piano .

Se una retta incontra obliquamente un piano, la sua proiezione sul piano è una retta.

α α

Per un punto P, non appartenente a un piano , si conduca la retta p perpendicolare ad in H e una

α in K. Siano A e B due punti di r, diversi da P e da K. Si conducano per

retta r obliqua, che incontri α

A e B le rette a e b parallele alla retta p. Il piano è perpendicolare alle due rette, che lo incontrano

α

nei punti A' e B', proiezioni rispettivamente di A e B sul piano . Le rette a e p sono complanari. Le

rette b e p sono complanari. Se il piano di a e p fosse diverso dal piano di b e p, i due piani

avrebbero in comune la sola retta p e quindi i segmenti PA e PB apparterebbero a rette distinte,

contro l'ipotesi. Pertanto a, b, p sono rette complanari. Tutte le rette parallele alla retta p e passanti

β α

e incontrano il piano nei punti proiezione

per i punti della retta r giacciono in uno stesso piano

α

sul piano dei punti della retta r. Tutti le proiezioni pertanto appartengono all'intersezione del