Simmetria a scuola e intorno a noi: decorazioni, segnali stradali e poligoni che insegnano matematica in movimento

OURANT OBBINS

Ed. Bollati Boringheri, Torino, 2000, pp. 311-314.

54

Questa attività ha permesso il consolidamento del concetto di figura

congruente e ha costituito un primo contatto con il mondo delle

pavimentazioni.

Le isometrie

Terza attività

Obiettivo: saper manipolare, osservare e descrivere le figure e le loro

posizioni.

La classe è stata divisa in quattro gruppi di quattro alunni, che hanno

lavorato con me in due momenti differenti, metà classe per volta.

Ad ogni gruppo sono state consegnate alcune figure in cartoncino

colorato, ripartite nel seguente modo:

- 1° gruppo: quadrati di cinque colori diversi

- 2° gruppo: quadrati di due colori diversi

- 3° gruppo: triangoli equilateri di cinque colori diversi

- 4° gruppo: triangoli equilateri di due colori diversi.

Ad ogni gruppo è stato affidato il compito di incollare le proprie figure

su un foglio di formato A3, ricoprendo interamente la superficie, in

modo tale che due poligoni dello stesso colore non fossero adiacenti.

Le modalità di lavoro dei gruppi sono state abbastanza differenti:

- 1° gruppo: si è subito creata una discussione tra gli alunni sul come

disporre i quadrati colorati, fino a quando una bambina si è imposta

affidando ai compagni il compito di mettere la colla sui cartoncini e

assumendosi quello di posizionare i quadrati sul foglio. Sul prodotto

finale si coglie l’iniziale intenzione di seguire un’alternanza fissa nella

disposizione dei colori, che infatti si ripetono per tre volte nello stesso

ordine, anche se questo criterio non è stato mantenuto sino alla fine;

- 2° gruppo: gli alunni hanno appoggiato tutti i quadrati sul foglio prima

di incollarli, forse influenzati dal mio consiglio generale di provare

55

inizialmente a progettare la disposizione dei poligoni. Il prodotto finale

presenta la constante alternanza dei due colori ;

5

- 3° gruppo: i bambini hanno avuto qualche difficoltà nella

collaborazione dovuta ad una sovrapposizione di ruoli e al fatto che

hanno subito disposto i triangoli a formare degli esagoni regolari, ma,

avendo solo cinque colori differenti, sono nate delle incertezze nella

scelta di quale colore riproporre. Nel prodotto finale non sono visibili

ripetizioni costanti;

- 4° gruppo: i bambini si sono organizzati in modo tale da alternarsi

equamente nell’incollare il retro dei triangoli di cartoncino e nel

posizionarli sul foglio, dopo aver concordato insieme il modo in cui

disporli. Nel prodotto finale è infatti facilmente identificabile l’ordine che

si ripete per tutta la pavimentazione .

6

Al termine della parte operativa ho chiesto agli alunni di scrivere come

avevano lavorato e le osservazioni nate dal confronto del proprio

prodotto con quello dei compagni. La prima richiesta è stata spinta dal

mio desiderio di far riflettere gli alunni sulle modalità più efficaci di

collaborazione, la seconda aveva invece l’obiettivo di portare il

contributo di ogni gruppo alla discussione che sarebbe seguita. Le

osservazioni più interessanti sono emerse dai componenti del 2° gruppo

che hanno notato che sul proprio foglio “in obliquo i quadrati sono dello

stesso colore”, mentre nell’altra pavimentazione i quadrati erano stati

messi “in ordine sparso”. Così anche chi ha lavorato con i triangoli di

due colori ha osservato che il proprio prodotto “seguiva un ordine”,

mentre quello dei compagni no, pur avendo anche loro rispettato la

consegna.

Quarta attività

Obiettivo: saper descrivere le figure, le loro posizioni e trasformazioni.

5 .

Cfr Allegato 8.

6 Cfr. Allegato 9. 56

L’attività è consistita in una discussione collettiva svolta in aula, della

durata di quasi un’ora.

Ho inizialmente letto ai bambini le riflessioni scritte al termine

dell’attività precedente, quindi ho mostrato uno alla volta i loro prodotti,

stimolando la formulazione di nuove osservazioni. Attraverso continui

ampliamenti e precisazioni, gli alunni sono giunti a concordare sul fatto

che le pavimentazioni formate da figure di due colori erano “ordinate”

perché le figure presentavano un’alternanza fissa di colori e posizioni. In

particolare i triangoli erano stati messi in modo da risultare “uno a testa

in su e uno a testa in giù”. Quindi, sullo schermo

del computer presente

in aula, ho mostrato agli

alunni alcuni disegni

periodici, per lo più

riproduzioni di alcune

tavole di Escher ,

7

focalizzando l’attenzione

su due di essi e

avviando una

discussione in

proposito.

In particolare, osservando la tavola dei cavallucci marini, gli alunni

hanno osservato:

“ci sono tanti cavallucci marini tutti uguali”

“sono disposti in modo da ricoprire tutto lo schermo”

“cambiano i colori e la posizione dei cavallucci”.

Alla mia richiesta di provare a descrivere come cambia la posizione dei

cavallucci, i bambini hanno risposto:

7 I disegni sono stati tratti da S D 2002.

ARTORE AN 57

“ci sono cavallucci che hanno la testa in giù e cavallucci che

hanno la testa in su”

“i cavallucci dello stesso colore è come se salissero”.

Osservando in seguito la tavola dei cani, i bambini hanno commentato:

“ci sono tanti cani uguali disposti in modo che riempiono

l’intera superficie”

“cambiano i colori e la posizione dei cani”

“ci sono cani con la testa in su e cani con la testa in giù”

“i cani dello stesso colore è come se si muovono in

orizzontale”.

Quando ho fatto notare come certi cani non fossero rappresentati

interamente ma visibili solo in parte e ho chiesto se riuscivano a

immaginare il disegno completo, gli alunni hanno subito risposto in

modo affermativo. Ho allora domandato se secondo loro fosse possibile

rappresentare la continuazione di questo quadro e fino a quale

dimensione. I bambini hanno concordato con assoluta facilità che era

possibile farlo “fino all’infinito”.

Così, attraverso la discussione, gli alunni hanno focalizzato la propria

attenzione sui possibili movimenti delle figure su un piano, dandone

una prima descrizione sommaria e priva di ogni termine specifico, ma

58

necessaria per arrivare alla comprensione delle trasformazioni

geometriche.

Quinta attività

Obiettivo: saper costruire disegni periodici.

Ho introdotto l’attività con un breve riepilogo delle caratteristiche

individuate dai bambini nei disegni osservati la volta precedente. Quindi

ho chiesto ad ognuno di provare a comporre un disegno periodico su un

foglio con una quadrettatura di 2cm, cercando di ripetere una figura

che fosse creata da loro e non necessariamente una delle forme

geometriche studiate. Ho quindi consigliato di tracciare prima tutti i

contorni, per verificare di non lasciare spazi bianchi, poi di colorare le

figure congruenti in modo da distinguerle chiaramente.

Le modalità di lavoro dei bambini sono state differenti:

- circa metà degli alunni non ha mostrato particolari difficoltà e, grazie

al supporto dei quadretti, ha trovato facilmente dei poligoni irregolari

che soddisfacessero tutte le richieste;

- per alcuni il compito è stato invece abbastanza difficile perché sono

partiti da un’idea più artistica che geometrica dell’attività. Questi alunni

hanno subito ideato un disegno da ripetere, senza però verificare che si

trattasse di una figura adatta al compito. Ad esempio un alunno mi ha

detto che voleva fare un fiore che si ripetesse per tutto il disegno ma che

non riusciva a concretizzare la sua idea. In questo e negli altri casi

simili ho ritenuto che le immagini visionate come esempio fossero state

leggermente fuorvianti, così mi è sembrato opportuno mostrare alcune

pavimentazioni ottenute solo con poligoni irregolari e quindi chiedere di

riprodurre qualcosa che fosse più simile a questo tipo di disegno

periodico che non ai precedenti. Nonostante un po’ di delusione iniziale,

i bambini sono comunque riusciti a produrre una pavimentazione;

- infine qualcuno ha avuto notevoli difficoltà ad iniziare il lavoro, come

se fosse completamente senza idee. In questi casi ho suggerito di

disegnare un rettangolo o un quadrato e di provare a dividerlo in due

59

poligoni congruenti ma posizionati in modo differente, per poi

riprodurre il disegno così ottenuto per tutto il foglio. Seguendo questo

percorso anche loro sono riusciti a completare il lavoro.

Diversi alunni hanno mostrato qualche perplessità nel momento in cui

il proprio disegno non ricopriva interamente la griglia di riferimento. Di

fronte a questa incertezza ho chiesto di provare a pensare a una

possibile soluzione, rimandando all’attività successiva la discussione

intorno a questo problema. Quasi tutti hanno però lasciato i bordi

bianchi, senza trovare alternative.

I prodotti finali mostrano come tutti gli alunni abbiano pienamente

compreso il concetto di congruenza e che ogni disegno periodico è

8

composto dalla ripetizione di una stessa figura in posizioni differenti .

Non tutti sono però stati in grado di mantenere lo stesso ordine di

ripetizione per l’intera pavimentazione, alcuni infine hanno lasciato

degli spazi bianchi in mezzo al disegno .

9

Sesta attività

Obiettivo: individuare le trasformazioni geometriche presenti in una

pavimentazione.

Per questa attività la classe è stata divisa in tre gruppi, composti

ognuno da cinque alunni, che hanno lavorato alternativamente con me.

Questa metodologia si è rivelata particolarmente efficace perché, grazie

al numero limitato di bambini, sono riuscita a seguire ognuno in modo

individualizzato e tutti, anche chi di solito è più restio, hanno

partecipato in modo attivo e propositivo alla discussione.

Nella prima parte dell’attività ho fatto riprendere ad ogni alunno il

disegno periodico che aveva composto la volta precedente, allo scopo di

analizzarne insieme ai compagni le caratteristiche. In particolare ho

chiesto di provare a spiegare perché aveva scelto quelle figure, come le

Cfr. Allegati 10, 11 e 12.

8

9 Cfr. Allegati 13 e 14. 60

aveva disposte sul foglio, come aveva alternato i colori e come aveva

risolto l’eventuale problema dei quadretti bianchi ai margini.

In generale i bambini hanno individuato che tutte le figure da loro

disegnate erano idonee al lavoro, ma che non sempre erano stati in

grado di disporle rispettando il medesimo ordine per tutto il disegno. In

questi casi ho quindi chiesto di indicarmi in