Circonferenza circoscritta ad un quadrato

Circonferenza circoscritta ad un quadrato

Un quadrato è inscrivibile in una circonferenza, infatti i suoi angoli opposti sono supplementari, dato che per ipotesi

[math]\widehat{A} ≅ \widehat{B} ≅ \widehat{C} ≅ \widehat{D}[/math]

. Tali angoli sono tutti retti. Il centro della circonferenza circoscritta al quadrato equivale al punto di incontro degli assi. Esso è il punto medio di ogni diagonale del quadrato, il che significa quindi che il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato è pari alla metà della diagonale.
Formule utili per calcolare r

[math]r = \frac{1}{2}d[/math]

[math]r = \frac{\sqrt{2}}{2}l[/math]

[math]r = \sqrt{S}\frac{\sqrt{2}}{2}l[/math]

(S è l'area del quadrato).
Formule inverse dato r

[math]d = 2r[/math]

[math]l = \frac{2r}{\sqrt{2}}[/math]

[math]S = (\frac{2r}{\sqrt{2}})^2[/math]

Proviamo a risolvere un piccolo esercizio.
Esercizio risolto
Sia ABCD un quadrato di lato 3.

Quanto vale l'area della parte piccola del cerchio delimitata dalla corda AB?

Svolgimento
Troviamo innanzitutto il raggio della circonferenza circoscritta ad ABCD.

[math]r = \frac{\sqrt{2}}{2}l = 3\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

Calcoliamo l'area del cerchio.

[math]S = (3\frac{\sqrt{2}}{2})^2\pi = 9\frac{1}{2}\pi[/math]

Adesso dividiamo l'area per 4 per trovare l'area della regione di spazio interessata.

[math]S_i = \frac{S}{4} = \frac{9\frac{1}{2}\pi}{4} = 9\frac{1}{2}\pi * \frac{1}{4} = 9\frac{1}{8}\pi = \frac{9}{8}\pi[/math]