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Calcolo di aree con geometria analitica - Esercizi svolti

Esercizio 1
Si consideri il quadrato in figura.

Sapendo che il lato misura 192, e che AE = GC = 30, calcolare l'area del quadrilatero DFAE.
Svolgimento
Una buona idea è quella di trovare l'area del quadrilatero come differenza di aree:
[math]S_{DFAE} = S_{DAB}-S_{EFB}[/math]
.
Non conosciamo però l'altezza del triangolo EFB relativa al lato EB. Aiutiamoci con la geometria analitica. Troviamo l'ordinata del punto F, ponendo:
  • A = (0,0)
  • B = (192,0)
  • C = (192,192)
  • D = (0,192)
  • E = (32,0)
  • G = (192,160)
Possiamo trovarci l'ordinata del punto F come intersezione tra le rette EG e BD.
Troviamo l'equazione di EG.
Abbiamo
[math]y = f(x)[/math]
, inoltre:
[math]f(32) = 0[/math]
[math]f(192) = 160[/math]
da cui ricaviamo
[math]f(x) = x-32[/math]
.
Troviamo ora l'equazione di BD.
Abbiamo
[math]y = g(x)[/math]
, inoltre:
[math]f(192) = 0[/math]
[math]f(0) = 192[/math]
da cui ricaviamo
[math]g(x) = -x+192[/math]

Adesso poniamo
[math]f(x) = g(x)[/math]
.
[math]x-32 = -x+192[/math]
Da cui otteniamo
[math]2x = 224[/math]
, quindi x = 112[/math].
Per trovare l'ordinata di F, sostituiamo 110 a f(x), otteniamo infine:
F(112,80).
Troviamo ora:

[math]S_{DFEA} = S_{DAB}-S_{EFB} = \frac{192*192}{2} - \frac{160*80}{2} = 96*192-160*40=12032[/math]
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