Calcolo area dei rettangoli con valore medio ed incertezza

Calcolo area del rettangolo come misura indiretta affetta da incertezza

il rettangolo r1 ha le seguenti dimensioni:
h_1=(12,0±0,5)cm
b_1=(45,5±0,5)cm
il rettangolo r2 ha le seguenti dimensioni:
h_2=(7,4±0,2)cm
b_2=(15,2±0,2)cm
calcolare:
le aree dei due rettangoli r1 ed r2;
le rispettive incertezze;
riportare la scrittura delle due misure con le relative incertezze.
dopodiché si proceda al calcolo della somma delle due aree e della sua incertezza, pervenendo anche in questo caso alla scrittura della misura completa e corretta.

svolgimento

calcolo dell’area del rettangolo r1
l’area richiesta ha la seguente espressione:
a1 = (a1m ± ea1) cm2
dove
a1m = valore medio dell’area del rettangolo r1
che si calcola come segue
a1m = b1mh1m
dove
b1m = 45,5 cm
h1m = 12,0 cm
si ottiene quindi a1m = (45,5)(12,0) cm2 = 546 cm2
ea1 = errore assoluto (o incertezza) dell’area del rettangolo r1
per in calcolo di tale errore assoluto si devono utilizzare gli errori relativi delle grandezze b1 ed h1.
Infatti si ha che:

ea1 = (era1)( a1m)
dove
era1 = erb1 + erh1
ossia l’errore relativo dell’area (data dal prodotto delle due dimensioni base per altezza) si ottiene sommando gli errori relativi dalla base e dell’altezza, i quali si ottengono come segue:

e_rb1= e_ab1/b_1m

e_(rh1)= e_(ah1)/h_1m

essendo

e_ab1=0,5 cm
b_1m=45,5 cm
e_(ah1)=0,5 cm
h_1m=12,0 cm

si ottengono i seguenti valori numerici

e_rb1= 0,5/45,5=0,01098901

e_(rh1)= 0,5/12,0= 0,0416666666

quindi l’errore relativo dell’area del rettangolo r1 è dato da:

era1 = erb1 + erh1

era1 = (0,01098901+0,0416666666 ) = 0,052655676

sostituendo nella seguente formula si ricava l’errore assoluto dell’area del rettangolo r1:
ea1 = (era1)( a1m)

ea1 = (0,052655676)( 546) cm2 = 28,7499991 cm2
tale valore si approssima al seguente:
ea1 = 28,7 cm2
a questo punto possiamo scrivere l’area richiesta del rettangolo r1 con la corrispondente incertezza:

a1 = (546 ± 28,7) cm2

calcolo dell’area del rettangolo r2
l’area richiesta ha la seguente espressione:
a2 = (a2m ± ea2) cm2
dove
a2m = valore medio dell’area del rettangolo r2
che si calcola come segue
a2m = b2mh2m
dove
b2m = 15,2 cm
h2m = 7,4 cm
si ottiene quindi a2m = (15,2)(7,4) cm2 = 112,48 cm2, che si approssima al valore
a2m = 112,5 cm2
ea2 = errore assoluto (o incertezza) dell’area del rettangolo r2
per in calcolo di tale errore assoluto si devono utilizzare gli errori relativi delle grandezze b2 ed h2.
Infatti si ha che:

ea2 = (era2)( a2m)
dove
era2 = erb2 + erh2
ossia l’errore relativo dell’area (data dal prodotto delle due dimensioni base per altezza) si ottiene sommando gli errori relativi dalla base e dell’altezza, i quali si ottengono come segue:

e_rb2= e_ab2/b_2m

e_(rh2)= e_(ah2)/h_2m

essendo

e_ab2=0,2 cm
b_2m=15,2 cm
e_(ah2)=0,2 cm
h_2m=7,4 cm

si ottengono i seguenti valori numerici

e_rb2= 0,2/15,2=0,013157894

e_(rh2)= 0,2/7,4= 0,027027027

quindi l’errore relativo dell’area del rettangolo r2 è dato da:

era2 = erb2 + erh2

era2 = (0,013157894+0,027027027 ) = 0,040184921
sostituendo nella seguente formula si ricava l’errore assoluto dell’area del rettangolo r2:
ea2 = (era2)( a2m)

ea2 = (0,040184921)( 112,48) cm2 = 4,52 cm2
tale valore si approssima al seguente:
ea2 = 5 cm2
a questo punto possiamo scrivere l’area richiesta del rettangolo r2 con la corrispondente incertezza:

a2 = (112,5 ± 5) cm2

calcolo della somma delle due aree con la rispettiva incertezza

a_1+ a_(2= ) (a_1m+ a_2m ) ± (e_a1+ e_a2 )

trattandosi di una somma, si sommano i valori medi e le rispettive incertezze.
quindi si ottiene:

a_1+ a_(2= ) [(546,0+ 112,5) ± (28,7+ 5,0)] 〖cm〗^2

a_1+ a_(2= ) [(658,5) ± (33,7)] 〖cm〗^2

tale valore si può approssimare come segue

a_1+ a_(2= ) [(550,0+ 112,0) ± (30,0+ 5,0)] 〖cm〗^2

ottenendo:

a_1+ a_(2= ) [(662) ± (35)] 〖cm〗^2