Quel che vedo è sempre vero?

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZA

Descrivere dal punto di vista operativo l’esperienza svolta in classe (il contesto della classe, gli

eventuali adattamenti necessari, i tempi di realizzazione, …) e la metodologia usata (schede di

lavoro, lavoro di gruppo, discussione matematica in classe, software utilizzato…)

CONTESTO DELLA CLASSE:

La classe è una prima del Liceo Scientifico Brocca costituita da 23 alunni vivaci e dotati di buone

conoscenze e capacità. Essi sono già in grado di utilizzare alcune funzioni del foglio di calcolo

Excel, di scrivere qualche semplice formula e trascinarla, di creare grafici, di ordinare i dati e

salvare i risultati in un’opportuna cartella.

ADATTAMENTI NECESSARI

Essendo una prima classe, si è dovuto attendere di svolgere le unità sui polinomi e sulle loro

operazioni prima di poter attuare la sperimentazione. In particolare era necessario che gli alunni

sapessero almeno calcolare il quadrato di un binomio.

TEMPI DI REALIZZAZIONE

• 1 ora in aula: descrizione e proposta dell’attività

• 1 ora in laboratorio: implementazione del foglio di calcolo excel per la verifica della

congettura proposta

• 1 ora in aula: introduzione della “dimostrazione” e della ricerca di contro-esempio.

• 1 ora in aula: proposta di altre congetture da “dimostrare” per via algebrica

• 1 ora in aula: somministrazione del test di verifica finale.

METODOLOGIA

1^ fase:

In aula

Si è iniziato col proporre la congettura proposta dall’attività:

“La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è sempre un

numero dispari?”

Quindi si è proposto di creare la seguente tabella alla lavagna:

1° numero Num preced. 1° quadrato 2° quadrato Differenza È dispari?

1 0 1 0 1 Si

2 1 4 1 3 Si

3 2 9 4 5 Si

4 3 16 9 7 Si

… … … … … …

… … … … … … (2)

Quel che vedo è sempre vero Diario di bordo Laura Todisco

Si è dunque chiesto di proseguire la compilazione della tabella almeno fino a 20 e riflettere sui

risultati ottenuti.

Gli alunni hanno osservato come nella penultima colonna comparissero tutti i numeri dispari

consecutivi e hanno “dedotto” che proseguendo la tabella all’infinito “avrebbero” ottenuto tutti i

numeri dispari.

Si è allora chiesto agli alunni:

“Siete sicuri che sarà sempre così? E se da un certo numero in poi le cose cambiassero?”

Si è fatto osservare che quella che avevano eseguito era solo una “verifica” fatta su un numero

finito di casi e che da ciò non si può dedurre una regola certa, ma solo “ipotizzarla”. La

supposizione fatta va dunque “dimostrata”.

Come per le proprietà geometriche di certe figure, si è fatto osservare come alle scuole medie ci si

sia limitati a “verificare” che la somma degli angoli interni di un triangolo misuri 180°,

semplicemente misurando e verificandolo soltanto per qualche triangolo, ma ciò non costituisce

affatto una dimostrazione che la proprietà sia valida qualunque sia il triangolo considerato.

2^ fase:

In laboratorio

Con il foglio di calcolo Excel, si è creata una tabella come quella proposta in aula alla lavagna,

inserendo le opportune formule per calcolare il numero precedente, il quadrato del 1° numero, il

quadrato del 2° numero e la differenza. Si è chiesto di trascinare i risultati almeno fino a 1000.

La verifica è risultata positiva: “sembra” che la congettura sia proprio vera!!!

3^ fase:

In aula

Si incomincia a parlare di “dimostrazione”.

Innanzitutto occorre tradurre l’affermazione in linguaggio algebrico; si consideri pertanto un

numero qualsiasi “n”, quindi il suo precedente si indicherà con “n-1”. Formalizziamo

l’affermazione in:

( )

− − 2

2

n n 1

A questo punto gli alunni sono in grado di svolgere i calcoli algebrici ottenendo:

( )

( )

− − = − − + = − + − = −

2

2 2 2 2 2

n n 1 n n 2 n 1 n n 2 n 1 2 n 1

Il risultato li lascia perplessi, sicché si è reso necessario prospettare l’espressione “2n” come

formula generatrice di un numero pari e quindi “2n-1” o, in alternativa, “2n+1” come formula

generatrice dei numeri dispari.

Hanno tutti compreso come la dimostrazione sia uno strumento molto più potente rispetto alla

verifica.

4^ fase:

In aula

Si è dunque proposto di dimostrare insieme altre congetture simili alla precedente:

• “La somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari, anzi è un multiplo di 4.”

• “La somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari.”

• “La somma di due numeri pari è un numero pari.”

• “Il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.”

• “Il prodotto di due numeri, di cui almeno uno pari, è pari.”

• “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3.”

• “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari.”

5^ fase:

In aula

Proposte di affermazioni false: ricerca di controesempi. (3)

Quel che vedo è sempre vero Diario di bordo Laura Todisco

• “La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari.”

• “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo.”

COMPORTAMENTO DEGLI STUDENTI

Valutare come l’attività è stata accolta dagli studenti e il modo in cui hanno assolto al loro

compito. Descrivere il clima di lavoro e le forme di collaborazione.

L’attività è stata accolta favorevolmente e con entusiasmo. Trattandosi di una prima classe liceale

ai primi mesi di attività didattica, si precisa che non c’è ancora l’abitudine al procedimento della

dimostrazione e del ragionamento logico-deduttivo che, solitamente, si inizia ad apprendere nel

corso dello studio della geometria euclidea. Gli alunni hanno lavorato dapprima sotto la guida

dell’insegnante, poi in piccoli gruppi, poi individualmente, partecipando sempre attivamente a tutte

le fasi dello svolgimento dell’attività.

APPRENDIMENTO: SUCCESSI E DIFFICOLTA’

Rilevare i risultati positivi o le difficoltà incontrate dagli studenti nella comprensione dei vari

concetti matematici e le metodologie di superamento

Risultati positivi Commenti ai risultati

Gli alunni:

• L'attività, che riguarda una situazione problematica,

hanno compreso la differenza tra ha permesso agli studenti di affinare le capacità

verifica e dimostrazione e quanto critiche nell’ambito delle forme di ragionamento, di

quest’ultima sia uno strumento molto consolidare le regole per il calcolo del valore di

più potente e abbia validità generale.

• un'espressione letterale e, inoltre, di acquisire

Hanno appreso progressivamente la consapevolezza nell'uso degli strumenti di calcolo

tecnica di formalizzazione.

• automatizzato.

Hanno compreso come sia più facile

confutare una congettura piuttosto che

dimostrare che sia vera, andando alla

ricerca di un opportuno contro-

esempio.

Difficoltà Metodologie di superamento

•

Alcuni alunni hanno incontrato difficoltà: si è ribadita ulteriormente la differenza tra

• verifica e dimostrazione, fornendo altri esempi;

nella comprensione della differenza •

concettuale tra verifica e dimostrazione sono state proposte numerose affermazioni da

• formalizzare, a partire dal concetto di numero

nella traduzione delle relazioni fornite precedente, successivo, pari e dispari, così come

da un contesto problematico in una multiplo di 3, di 4 eccetera.

formalizzazione;

• nel riconoscere le espressioni 2n e 2n-1

come formule generatrici di un numero

pari e di uno dispari;

• di calcolo algebrico;

• di interpretazione dei risultati. (4)

Quel che vedo è sempre vero Diario di bordo Laura Todisco

VALUTAZIONE

Quali prove di verifica sono state somministrate? Riportare e commentare le prove di verifica

proposte e i relativi risultati.

Sono stati somministrati due test di verifica.

TEST DI VERIFICA N°1

Per ogni affermazione indica se è vera o se è falsa.

La somma di due numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:

a. 4(n+1) V F

b. 4(n–1) V F

c. 4n+1 V F

d. 4n–1 V F

Indicare qual è la risposta esatta:

la somma di tre numeri consecutivi è sempre dispari

la somma di tre numeri consecutivi è sempre pari

la somma di tre numeri consecutivi è multiplo di sei

la somma di tre numeri consecutivi è multiplo di due

nessuna delle precedenti affermazioni è esatta

Indicare qual è la risposta esatta:

la somma di due numeri consecutivi è sempre dispari

la somma di due numeri consecutivi è sempre pari

la somma di due numeri consecutivi è sempre multiplo di tre

la somma di due numeri consecutivi è multiplo di due

nessuna delle precedenti affermazioni è esatta

Indicare qual è la risposta esatta:

la somma di due numeri qualsiasi è sempre dispari

la somma di due numeri qualsiasi è sempre pari

la somma di due numeri qualsiasi è sempre multiplo di tre

la somma di due numeri qualsiasi è multiplo di due

nessuna delle precedenti affermazioni è esatta (5)

Quel che vedo è sempre vero Diario di bordo Laura Todisco

I risultati sono riportati nel seguente grafico:

RISULTATI TEST N°1

100% 1

90% 6

80%

70% risp. omesse

60%

50% 20 20 20 20 20 risp. errate

19

40% risp.corrette

14

30%

20%

10%

0% 1-a 1-b 1-c 1-d 2 3 4

QUESITI

Come si nota, il primo ed il terzo quesito sono stati svolti correttamente da tutti i 20 alunni

coinvolti, mentre il secondo quesito è stato svolto correttamente dal 70% degli alunni; infine il

quarto quesito è stato risolto correttamente dal 95% della classe.

Trattandosi di un test a scelta multipla e vero/falso, è risultato abbastanza semplice perché non

richiedeva le dimostrazioni delle affermazioni esposte, ma solo una verifica. (6)

Quel che vedo è sempre vero Diario di bordo Laura Todisco

TEST DI VERIFICA N°2

Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:

“ Un numero divisibile per 3