Calcolo delle radici

C.V.D.

Teorema

Il numero è irrazionale.

3

Dimostreremo questa affermazione per assurdo in modo analogo alla precedente dimostrazione.

m

 

Sappiamo che è un numero > di 1. Supponiamo che dove e sono numeri interi

3 m n

3 1 n

positivi primi fra loro. Procedendo in modo analogo alla precedente dimostrazione avremo che

2

2 m m

    

e semplificando possiamo scrivere . Visto che è un numero pari

2 2 2

3 1 2

n 2

mn m 2n

2

n n

si deduce che, visto che anche è un numero pari, anche deve essere un numero pari e perciò

2

m

2

mn

anche deve essere un numero pari.

m   

Per cui possiamo scrivere dove . Semplificando otteniamo

2 2

2

n 2

( 2

k ) n ( 2

k ) m 2

k

  . Da questa deduciamo che deve essere pari ed anche deve essere pari

2 2 2 n

n 2

kn 2

k n

contraddicendo la nostra affermazione iniziale “ e sono numeri interi positivi primi fra loro”.

m n

Questa contraddizione esiste perché abbiamo ipotizzato che sia un numero razionale, per cui

3 3

deve essere un numero irrazionale.

C.V.D.

Teorema 

La somma è un numero irrazionale.

2 3

Premettiamo subito che, se un numero irrazionale viene elevato al quadrato il risultato può essere un

numero razionale [esempio ] oppure un numero irrazionale [esempio ]. Se invece viene

2 2

3

( 5 ) ( 5 )

elevato al quadrato un numero razionale, il risultato può essere solo un numero razionale.

 

2 3 x

levando entrambi i termini al quadrato abbiamo

 

2 2

( 2 3 ) x

Con dei semplici passaggi otteniamo:

   2

2 3 2 6 x 51

Veriano Veracini – Calcolo delle radici 

Siccome è un numero irrazionale (la semplice dimostrazione la lascio al lettore) anche è

6 5 2 6

un numero irrazionale, da ciò si deduce che anche è un numero irrazionale e per la premessa deve

2

x

essere irrazionale anche .

x

C.V.D.

Teorema q

Il numero , con numero intero, è irrazionale.

2 q

Dimostreremo questa affermazione per assurdo in modo analogo alle precedenti dimostrazioni.

m



q

Supponiamo che dove e sono numeri interi positivi primi fra loro. In questa ipotesi

m n

2 n

possiamo effettuare queste semplici trasformazioni.

q

m

m

  

q q

q

2 ( ) 2 2

n m

q

n n

Visto che è pari deve risultare pari anche e, di conseguenza, anche deve essere pari. Per cui

q q m

2 n m



possiamo scrivere e se effettuiamo le dovute sostituzioni otteniamo:

m 2

k 

  

q q q q q 1 q

q q

2

n ( 2

k ) 2

n 2 k n 2 k



Visto che è pari deve risultare pari anche e, di conseguenza, anche deve essere pari,

q 1 q q n

2 k n

contraddicendo l’ipotesi iniziale “dove e sono numeri interi positivi primi fra loro”. Questa

m n q

contraddizione è eliminabile solo ipotizzando che sia un numero irrazionale con numero intero.

2 q

C.V.D.

Semplificazione dei radicali doppi 

In genere, nel caso si debba effettuare il calcolo di un radicale doppio ( è la sua struttura,

a b

ipotizzando che “a” sia diverso da zero e “b” sia diverso da zero e da uno), bisogna effettuare prima il

 

calcolo della , poi bisogna effettuare il calcolo e poi calcolare la . Come è facile

b a b a b

intuire, per avere un buon risultato bisogna che la sia calcolata con un numero adeguato di

b

decimali. 

Nell’ipotesi, effettivamente abbastanza remota, che il valore di sia un quadrato, esiste un modo

2

a b

semplice per poter effettuare il calcolo di un radicale doppio. Questo metodo consiste nel trasformare il

radicale doppio in una somma/sottrazione di due radicali.





Se è uguale ad un quadrato allora ponendo = n posso scrivere:

2

2 a b

a b  

a n a n



 =

a b 2 2

Dimostrazione

Nell’ipotesi che i due termini dell’uguaglianza precedente sia uguali, anche i loro quadrati saranno

uguali. Utilizzeremo questa affermazione per dimostrare la precedente formula.

 

Se = n allora =

2 2 2

a b a b n



 =

2 a b

( a b ) 52

Veriano Veracini – Calcolo delle radici

       

a n a - n a n a n a n a n (a n) (a n)

      

= = =

2 2 2

( ) ( ) ( ) 2 a 2 a a n

2 2 2 2 2 2 4



  

= = .

2 2 a b

a a (a b)

C.V.D.  

a n a n





Ovviamente l’uguaglianza = è sempre vera (l’abbiamo appena dimostrata),

a b 2 2

ma ha scopo effettuare questa trasformazione solo se “n” è un quadrato, altrimenti trasformiamo un

radicale doppio in una somma/sottrazione di due radicali doppi.

Esempio 

Ammettiamo di voler calcolare . Premetto che il suo valore è 3,2566165.

7 13

 

= = 36 che è il quadrato di 6.

2

7 13 49 13

 

7 6 7 6 13 1

 

= = 2,5495098 + 0,7071068 = 3,2566166.

2 2 2 2

La differenza sull’ultimo decimale è dovuto all’approssimazione della mia calcolatrice.

Esempio 

Ammettiamo di voler calcolare . Premetto che il suo valore è 1,842403.

7 13

 

= = 36 che è il quadrato di 6.

2

7 13 49 13

 

7 6 7 6 13 1

 

= = 2,5495098 - 0,7071068 = 1,842403

2 2 2 2

Esempio

Ammettiamo di voler calcolare . Premetto che il suo valore è 4,1622777.

11 40

 = = 81 che è il quadrato di 9.

2

11 40 121 40

 

11 9 11 9

 

= = 3,1622777 + 1 = 4,1622777

10 1

2 2

Esempio

Ammettiamo di voler calcolare . Premetto che il suo valore è 2,1622777.

11 40

 = = 81 che è il quadrato di 9.

2 121 40

11 40

 

11 9 11 9

 

= = 3,1622777 - 1 = 2,1622777.

10 1

2 2

Dimostrazione del metodo geometrico 53

Veriano Veracini – Calcolo delle radici

Si può dimostrare la validità del metodo geometrico, per l’estrazione della radice quadrata, in due modi

diversi: attraverso il metodo geometrico e attraverso le funzioni trigonometriche.

A) Dimostrazione attraverso il metodo geometrico

Calcoliamo la lunghezza del segmento CH

L’angolo ACB è un angolo retto visto che insiste sul diametro della circonferenza.

Per il 2° teorema di Euclide il segmento AH moltiplicato per il segmento HB è uguale al quadrato del

segmento CH.

Siccome il segmento HB è uguale all’unità risulterà che il segmento AH è uguale al quadrato del

segmento CH. Cioè il segmento CH è uguale alla radice quadrata del segmento AH.

C.V.D.

Calcoliamo la lunghezza del segmento CB

2 2 2

Per il Teorema di Pitagora abbiamo CB = CH + HB

2

Il quadrato del segmento CH, cioè CH è uguale al segmento AH.

2

Il segmento HB è uguale a 1 per cui HB è uguale a 1.

2

Da cui CB è uguale a AH + 1 per cui CB è uguale alla radice quadrata del diametro AB.

C.V.D.

B) Dimostrazione attraverso le funzioni trigonometriche

Calcoliamo la lunghezza del segmento CH

α

Se l’angolo COH è ed il segmento AO è uguale a 1 allora abbiamo che:

La retta rossa (segmento AH) è = .

1 cosα 54

Veriano Veracini – Calcolo delle radici

La retta blu (segmento HB) è = .

1 cosα

La retta rosa (segmento CH) è = .

senα



1 cosα senα



Abbiamo ipotizzato che 2

( )

 

1 cosα 1 cosα

Da cui, con semplici passaggi, si ricava:

 α

( ) ( ) = 2

sen

1 cosα 1 cosα

Effettuando la moltiplicazione otteniamo:

α α

= E questa è un’identità.

2 2

1 - cos sen

C.V.D.

Calcoliamo la lunghezza del segmento CB

α α

 

Dobbiamo premettere che 2 2

cosα cos sen

2 2

α

Il segmento CB è = .

2sen 2 α

2sen

2 2

Abbiamo ipotizzato che = 2

( )



 

1 cos 1 cosα

α α α α α

  

 = = =

2 2 2 2 2

4sen 2sen 1 (cos sen ) 2sen

1 - cosα

2

(

1 cos ) 2 2 2 2 2

 

α α α



= =

2 2 2 2 2

1 - cos 2sen sen 1 - cos sen

2 2 2 2 2

α α



1 = E questa è un’identità.

2 2

sen cos

2 2

C.V.D.

Altro metodo per calcolare la lunghezza del segmento CB

Abbiamo ipotizzato che:

2 2 2

2 = CB = CH + HB

 



2 2

2 sen (

1 cos )

 

  

  

2 2

(

1 cos ) (

1 cos ) (

1 cos )

   

    

2 2

2

(

1 cos ) sen 1 cos 2 cos

 

   E questa è un’identità.

2 2 cos 2 2 cos

C.V.D.

Metodo geometrico per il calcolo delle radici con indice superiore a 2

Una delle innovazioni matematiche più significative la dobbiamo a Cartesio ed a Fermat e mi riferisco

allo studio e all’introduzione delle “coordinate cartesiane”. Ma già nel IV secolo a.C. alcuni matematici

avevano utilizzato un metodo analogo per definire delle curve piane.

Grazie a Ippocrate di Chio (nulla a che vedere con Ippocrate, il medico greco) e a Menecmo fu risolto il

problema del calcolo della radice cubica di un numero attraverso un metodo grafico. Tralasciando di

illustrare il ragionamento di come i due matematici greci siano arrivati alla soluzione di questo

problema, vediamo come oggi si potrebbe ragionare per arrivare al medesimo risultato. a

 



L’espressione è equivalente all’espressione , da ciò possiamo ricavare che .

3 2

3 a x x

a x x

Suddividendo questa funzione in due funzioni distinte abbiamo:

55

Veriano Veracini – Calcolo delle radici

 a



 y

 x

  2

y x

L’unico vincolo da rispettare, su queste due funzioni, è che devono essere, simultaneamente, verificate.

Per cui, ricapitolando, per poter effettuare il calcolo della basta riportare su un piano cartesiano le

3 a

due precedenti funzioni, che sono un’iperbole e una parabola. Nel punto dove le due funzioni si