Un'osservazione sulla uniforme convergenza di successioni di funzioni reali

Osservazioni sulla uniforme convergenza
Vogliamo fare un’osservazione elementare su una equivalenza che compare in alcuni testi di Analisi 2 e che, così come è ivi riportata, può indurre una convinzione errata. In questi testi, infatti, si dice che una successione di funzioni reali definite in un insieme J di numeri reali converge uniformemente in J verso una funzione f se, per ogni , esiste un indice tale che e J (1) poi, si afferma che, equivalentemente ,la successione fn converge uniformemente in J verso f , se, per ogni , esiste un indice tale che sup <
(2)

lasciando intendere che l’indice nella (2) sia lo stesso riportato nella (1) (anche se, un lettore, più attento, intenderà bene che non sia così). La nostra osservazione è che l’indice suddetto non può essere lo stesso nella (1) e nella (2). Per questo, per comodità di qualcuno, anche, sia detto senza offesa, di alcuni insegnanti (a tutti, anche su questioni elementari, può capitare di avere qualche dubbio, non credo ci si debba vergognare) ci attarderemo a dimostrare (pedissequamente) nei dettagli la doppia implicazione, sostituendo la seconda affermazione con la seguente: la successione fn converge uniformemente in J verso f , se, per ogni , esiste un indice tale che sup <
(3)

cioè, in pratica, dimostreremo l’equivalenza della (1) con la (3). Supponiamo, allora, che valga la (1);si ha che dalla (1) consegue subito che sup ≤
(4)

(se fosse sup > per qualche n, posto = sup per le proprietà dell’estremo superiore, dovrebbe esistere un , tale che apparterrebbe all’intervallo , in evidente contraddizione con la (1) ). Poiché, evidentemente, la (1) vale per ogni , scelto ,è possibile trovare si abbia: e J; , tale che
(5)

se fosse: sup per qualche m > x’ tale che ,per le proprietà dell’estremo superiore, nell’insieme J si potrebbe trovare un appartenga all’intervallo , cioè tale che: > In evidente contraddizione con la (5). Da ciò discende che vale la (4), pur di sostituire e il segno “≤” con il segno “<”, quindi vale la (3) dove si è indicato con , cioè ). Infine, concludiamo osservando che l’implicazione inversa ( ) è banalmente soddisfatta, anche supponendo = , per ovvie proprietà dell’estremo superiore. Era quanto si voleva dimostrare.
Prof. Salvatore Antonucci