Una nota sull'uso di integrali di Eulero divergenti

T

1 Γ −

(

1 )

0 p p

1 1 1

= = + = − + =

, e quindi l’integrale 0

L’integrale T T T T

2 1 2

p p p

π ≠ 0 , e quindi

Essendo p un numero non intero, sen p

 

∞ p

∑  

= − = come era da aspettarsi.

( 1

) 0

,

K

C  

3  

k

= 0

K y

= ; così facendo otteniamo:

Inoltre, possiamo calcolare l’integrale T ponendo t −

1 y π

Γ −

Γ − Γ

( ) ( ) ( ) 1

∞ y dy p p p

1 1

∫ ∫ ∫

− − − − − − −

= = =

= − = =

1 1 1 1 ,

( ) (

1 ) 0

p p p p

T t dt y y dy π

Γ Γ + Γ

− − 2

1 (

0

) (

1 ) (

0

)

(

1 )

0 0 0

y p sen p

y

1

π ≠ = =

0 , e 0 , e quindi

in quanto 0 .

sen p C 3

Γ ( 0

)

rappresenta un integrale di Eulero di prima specie, con Re(x)<0

T

1

Il procedimento seguito conduce ad un valore concreto ben noto, e pertanto è da considerarsi

valido. Consideriamo l’espressione:

2.1.04 





 m n

m

∑ 





 ≤ ≤

= 0 ; m,n, interi non negativi. E’ lecito porre:

, con m n

C 







4 





 k k

= 0

K α α

− −

 

 

lim m n

m

∑  

 

= =

C  

 

α

4 → 0  

 

k k

= 0

K α α

Γ + − Γ + −

lim ( 1 ) ( 1 )

m m n

∑

= α α α

→ Γ + Γ + − − Γ + Γ + − −

0 ( 1

) ( 1 ) ( 1

) ( 1 )

k m k k n k

= 0

K

Sviluppando i calcoli, ed applicando la (4), ricaviamo:

πα

lim m

sen ∑ 1 1

∫ ∫

α α α α

+ + − − − + − − −

= − − −

2 1 1 =

( ) ( 1

) (

1 ) (

1 )

m n K m m K n n

C t t dt u u du

α π

4 → 0 0 0

= 0

K 4

Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo

5

di Eulero divergenti

πα +

−

lim 1

1 ( ) m

sen tu

1 1

∫ ∫

α α α α

+ − − − − − − =

= − − −

2 1 1

( ) ( 1

) (

1 ) (

1 )

m n m m n n

t t dt u u du

α π

→ −

0 1

0 0 tu

πα

lim sen +

− −

2

( ) ( 1

) ( ) , avendo posto

= m n T T

α π 1 2

→ 0 du

1 1

∫ ∫

α α α α

− − − − − −

= − − =

1 1

(

1 ) (

1 )

m m n n T T

T t t dt u u

1 11 12

−

1

0 0 tu +

1

( ) m

tu

1 1

∫ ∫

α α α α

− − − − − −

= − −

1 1

(

1 ) (

1 ) , e

m m n n

T t t dt u u du

2 −

1

0 0 tu

du

1

∫ α α

− − −

= −

1 (

1 )

n n

T u u

1 2 −

1

0 tu z

=

;ponendo , otteniamo:

Calcoliamo l’integrale T u

12 +

1 z α − −

1

1 1 n

∞ ∞

z dz z

∫ ∫

α α

− − − =

= 1 ;

( ) ( )

n n

T dz

12 + −

+ + + 2

1 1 1

(

1 )

tz

0 0

z z z tz

z

−

1 +

1 z

w

= , ricaviamo:

ponendo z-tz=w, da cui z −

1 t α

α − −

− −

1 1

n

n ∞

∞ w w

∫ ∫

α α

− − =

= − = −

(

1 ) (

1 ) , essendo

n n

T t dw t U U dw

12 +

+

1 1

0 0

w w

Dai testi più accreditati sappiamo che:

π

−

1

z

∞ w

∫ = 1

per 0<Re(z)< .

dw π

+

1

0 w sen z α

α − < (

0 , se n>0, , reale positivo, piccolo a piacere).

Nel nostro caso Re(x) = n

Noi dimostreremo, qui di seguito, che l’integrale U presenta il valore seguente:

α π π

− −

1

n

∞ w

∫

= = −

( 1

)

= n

U dw π α α

+ −

1 ( )

0 sen n sen

w α α α α

− − − − − − −

−

1

1 1

(

1 )

n n n n

∞ ∞ ∞ ∞

w w w w

w

∫ ∫ ∫ ∫

= = =

Infatti, = -

U dw dw dw dw

+ − −

−

2 2

2

1 1 1

1

0 0

0 0

w w w

w

α α α α

− − −

+ − −

1 1

n n n n

w dw w dw

w w

1 1

0 0

∫ ∫ ∫ ∫

+ − − − − =

= ( ) ( )

dw dw

− −

− − −

− 2 2

2 2 2 2

1 1

1 1

0 0

1 1

w w w w

w w

α α α α

+ − − − − −

− −

1 1

n n n n

w w w w

1 1

∫ ∫

+

= dw dw

− −

2 2

1 1

0 0

w w

=

2

Ponendo, , otteniamo:

w y

α α α α

− − − + − +

1 1

n n n n

− − −

1 1 1

− −

1 1

2 2 2 2

y y y y

1 1

∫ ∫

− =

U= dy dy

− −

2 1 2 1

0 0

y y

α α α α

− − + − − +

1 1 1

1 n

n n n

+ − −

[ ] [ ]

Ψ( Ψ( - Ψ Ψ ,

= 1

) ) ( ) ( )

2

2 2 2

2 2

5

Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo

6

di Eulero divergenti

Γ ' ( )

z

essendo Ψ(z)= Γ ( )

z π π

cot (5)

Ricordando la nota relazione: Ψ(1-z) – Ψ(z) = g z

ö

(Gauss. K. F., Werke, Bd. III. G ttingen 1876), abbiamo:

π π

α α − +

−

1 1

n n

π π π π = −

− = ( 1

)

( cot cot )

U= n

g g π α πα

−

( )

2 2 2 sen n sen

π

α − −

1

n

∞ w

∫ −

= ( 1

)

Quindi, abbiamo: = (6)

n

U dw πα

+

1

0 sen

w

La formula (6) si presenta frequentemente nel calcolo di moltissimi integrali

Procedendo nel calcolo di , otteniamo:

T

1 π

1

∫ α α α

− − − −

= = − − − =

1 (

1 ) ((

1 ) ( 1

) )

m m n n

T T T t t dt t πα

1 11 12 0 sen

π α

Γ + + −

( 1 2 ) (7)

m n

+

= −

2

( ) ( 1

) ,

m n

πα α α

Γ + − Γ + −

( 1 ) ( 1 )

sen n m +

πα  

lim m n

sen +  

− =

2

Pertanto, ( ) ( 1

) m n T  

α π 1

→ 0  

m

Non procediamo al calcolo di in quanto risulta che:

T

2

πα

lim sen +

− =

2

( ) ( 1

) 0 (7’)

m n T

α π 2

→ 0 , possiamo porre:

Infatti, riprendendo l’espressione C 4

α α

−

−

 

 

 

 

lim

∞ ∞

m n m n

∑ ∑

 

 

 

  =

= =

C  

 

 

 

α

4 → 0

 

 

 

 

k k k k

= =

0 0

K K +

πα 



lim m n

sen du

1 1

∫ ∫

α α α α

+ − − − − − − 



= − − − =

2 1 1

( ) ( 1

) (

1 ) (

1 )

m n m n n n

t t dt u u 



α π

→ −

0 1 



0 0 m

tu

Risulta così giustificata la (7’)

Per m=n, otteniamo la ben nota formula:

2

   

2

n n

n

∑    

= =

C    

4 ,

1    

k n

= 0

K

Confrontando l’integrale , che figura nella (7), con l’integrale (1), rileviamo che

T

1

Re(x)<0. Il procedimento seguito conduce, quindi, a formule note, e pertanto è da ritenersi

valido. Consideriamo l’espressione:

2.1.05 −

1

 

 

m n

n

∑  

  ≤

= , con n ; m,n interi non negativi. E’ lecito porre

m

C  

 

5  

 

k k

= 0

K 6

Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo

7

di Eulero divergenti −

1

α α

− −

 

 

lim m n

n

∑  

 

= =

C  

 

α

5 → 0  

 

k k

= 0

K α α

Γ + − Γ + −

lim ( 1 ) ( 1 )

n m n

∑ −

= 1

( )

α α α

→ Γ + Γ + − − Γ + Γ + − −

0 ( 1

) ( 1 ) ( 1

) ( 1 )

k m k k n k

= 0

K

Svolgendo i calcoli ed applicando la (4), ricaviamo:

α

Γ + −

lim

1 ( 1 ) n

m ∑ 1

∫ α

− + − − − −

= − − =

1 1

( 1

) (

1 )

n m K m m n

C t t dt

α α

5 →

Γ − Γ + −

0

( ) ( 1 ) 0

m n n = 0

K

α +

Γ + &mi