Una nota sulle serie divergenti e loro utilizzazione

C

13.00 Consideriamo la serie: = (

n

− !

−

x 1 1

e n

e ≥ 0

n

1 1 4 1 59

= = − = = = = = −

1

, 1

, , , , ,

sono dati da:

I primi valori di C C C C C C C

C 4

0 1 2 3 5 6

n 3 4

, 15 6 84

La (13.01) è suscettibile di essere trasformata in:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− −

1 ( 1

)

x n

k x h

x e

x x e x

∑ ∑ ∑ (13.02)

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = C

B B

− k h n

− ! ! !

−

− 1

x −

x

1 x 1 ⎦

⎣ ⎦ ⎣

1 1

e e k h n

e

e e ≥

≥ ≥ 0

0 0 n

k h

Derivando, n volte, rispetto ad x, gli ultimi due membri della (13.02),

e ponendo dopo, x=0, ricaviamo: ⎛ ⎞ −

n j

n

n

∑ ∑

⎜ ⎟ −

= ( , ) , n>0, (13.03)

B B S n j h

C ⎜ ⎟ j h

n ⎝ ⎠

j

= =

0 0

j h

, , , i numeri di Bernoulli, e, S(n-j,h) i numeri

essendo, come è noto, B e B

j h

di Stirling di seconda specie.

Per x>1, la serie che figura nell’ultimo membro della (13.02) è divergente, per cui,

applicando, alla (13.02), l’integrazione di cui al punto , abbiamo:

3.01

− +

ln(

1 )

x

∞ ∞ y dy

xe ∫

∫ = +

= ( 1 ) = = 0,420552

x

e y

dx − + 2

− 1 (

1 )

−

x y

1

0 0

1

e e y

e 1 ∞ ∑

∑ ∫ − =

n x

C x e dx C n

n ! 0

n ≥0

≥ 0 n

n ∑ = 0,420552. (13.04)

Uguagliando i risultati delle precedenti due relazioni, abbiamo: C n

≥0

n

La serie che figura al 1° membro della (13.04) costituisce una serie divergente,

rappresentata dal valore 0,420552, indicato nel 2° membro della predetta (13.04).

− −

( ) n

x x

∑

), -x ad x, ricaviamo: (13.05)

13.01 Sostituendo nella (13.01 = C

− n

− !

−

x 1 1

e n

e ≥ 0

n

Per x>1, la serie del 2° membro della (13.05) è divergente, per cui, applicando,

alla (13.05), l’integrazione di cui al punto , abbiamo:

3.01 −

− ln(

1 ) h

∞ x y k

∑ ∑

1

∫ ∫ −

− −

− = −

(

1 ) 2,20612

k

x x

e dx e y dy

= = = =

e

−

− +

− 2

− 1 !

( 1

)

−

x y

1 1

0 0

e e h h

e ≥ ≥

0 0

k h

42

−

( 1

) n ∞ ∑

∑ ∫ − −

( 1

)

= n

n x C

C x e dx n

n ! 0

n ≥

≥ 0

0 n

n ∑ −

( 1

) = 2, 20672. (13.06)

Uguagliando i risultati delle due ultime relazioni, otteniamo: n

C n

≥ 0

n

Il 1° membro della (13.06) costituisce una serie divergente, rappresentata dal valore 2,20672.

( ) n

iz iz

∑ (13.07)

13.02 Ponendo nella (13.01), x = iz, ricaviamo: = C n

− !

−

iz 1 1

e n

e ≥ 0

n

er z>1, la serie del 2° membro della (13.07), costituisce una serie divergente, per cui,

P

applicando, alla (13.07), l’integrazione di cui al punto , abbiamo:

3.01

( ) n

∞ ∞

iz i

∑

∫ ∫

− −

z n z

C z e dz

e dz = n

− !

−

iz 1 0

1

0 e n

e ≥ 0

n − −

ln(

1 )

∞ i y dy

iz 1

∫ ∫

− −

− = −

(

1 )

(

1 )

z z y

e dz e y

= = =

−

−

− − − 1

−

−

iz i

1 (

1 ) 1 1

1

0 0

e y y

e

e ln y

1

∫

− 0,750489 – 1,082343 i (13.08)

i dy

= =

− − −

cos ln sin ln 1 1

y i y

0 e ( ) n ∞

i ∑ ∑ ∑

∑ ∫ − − − −

= ( ) = ( 1

) ( 1

) (13.09)

n z n n n

C z e dz C i C i C −

2 2 1

n n n n

! 0

n

≥ ≥ ≥ ≥

0 0 0 1

n n n n

Uguagliando le parti reali e quelle immaginarie dei risultati delle relazioni (13.08)

∑ −

( 1

) = 0,750489 (13.10)

e (13.09), troviamo: n

C 2 n

≥ 0

n

∑ −

( 1

) =1,082343 (13.11)

n

C −

2 1

n

≥

1

n

I primi membri delle (13.10) e (13.11) costituiscono serie divergenti, rappresentate,

rispettivamente, dai valori 0,750489 e 1,082343

14.00 Consideriamo la serie: 1

∑ − (14.01)

( 1

) (ln ) =

k k

x +

1 ln x

≥ 0

k

Il 2° membro della (14.01) l’abbiamo ottenuto applicando la (3.04). ≥

≤ <

Il 1° membro della (14.01) è una serie convergente per , e divergente per ,

1 x e

x e

−

per cui, moltiplicando, per , ambo i membri della (14.01), ed integrando, rispetto ad x,

x

e

tra i limiti uno ed infinito, troviamo una nuova serie divergente, definita da:

− x

∞ ∞ e dx

∑ ∫ ∫

−

−

( 1

) ( ln ) = (14.02)

k k x

x e dx +

1 ln

1 1 x

≥ 0

k

Operando sulla serie del 1° membro della (14.02), otteniamo:

lim ∞

∞

∑ ∑

∫ ∫ ε −

−

− − ( )

( 1

) ( ln ) ( 1

) = (x=1+y) =

= k k x

k k x D x e dx

x e dx ε

ε → 0

1 1

≥

≥ 0 0

k

k 43

lim ∞

∑ ∫ ε

− −

− +

1 ( )

= ( 1

) (

1 ) (14.03)

k k y

e D y e dy

ε

ε → 0 0

≥ 0

k

Calcoliamo l’integrale che figura nell’ultimo membro della (14.03).

−

( 1

) h

∞ ∞ z

∑

∫ ∫ ε

ε −

+ =

+

(

1 ) ) =

= = (

(

1 )

y h

y e dy y

y y dy −

1

!

0 0 z

h

≥ 0

h

− −

( 1

) 1 ( 1

)

h h

z dz

∑ ∑

1 1

∫ ∫

ε ε

− − −

− 2

= = =

( ) ( ) (

1 ) ( )

h h h

z z dz

− − − 2

! 1 1 !

(

1 )

0 0

h z z h

z ≥

≥ 0 0

h h

ε π

ε

− Γ + Γ − − − Γ +

( 1

) ( 1

) ( 1

) (

1 ) 1

h h h

∑ ∑ −

= =

= ( 1

) h π

− ε

ε πε

Γ − Γ + + −

! ( ) ( 2 ) (sin )( 1

) h

h h

≥ ≥

0 0

h h πε

sin

ε

Γ +

(

1 ) 1

∑ ∑

− −

= (14.04)

= ε ε ε ε

Γ + + + + + +

( 2 ) (

1 )( )...(

1 )

h h h

≥ ≥

0 0

h h +

1

1 1

h

∑

= = (r=s+1)=

Sappiamo che: ε ε ε ε −

+ + + + + + − − −

1

(

1 )( )...(

1 ) ( )( 1 )! ( 1

) ( 1

)!

r

h h r h r r

=

1

r

⎛ ⎞

−

( 1

) 1

s h

h

∑ ⎜ ⎟ (14.05)

= ⎜ ⎟ ε

+ +

! 1

⎝ ⎠

s

h s

= 0

s

Tenendo presente i risultati delle (14.03), (14.04) e (14.05), ricaviamo:

⎛ ⎞

− Γ +

lim ( 1

) ( 1

)

s h

h

∞ k

∑ ∑ ∑∑

∫ ε

− − − −

⎜ ⎟

− − − + + −

1 1

( 1

) ( ln ) ( 1

) ( 1 ) ( 1

) =

=

k k x k k k

x e dx e s

⎜ ⎟

ε → Γ

0 ! (

1

)

⎝ ⎠

1 s

h

≥ ≥ =

≥ 0 0 0

0 k h s

k ⎛ ⎞

−

( 1

) 1

s h

h

∑ ∑∑

− ⎜ ⎟

− 1

= ! (14.06)

e k ⎜ ⎟ +

+ 1

! ( 1

) k

⎝ ⎠

s

h s

≥ ≥ =

0 0 0

k h s

Il valore dell’integrale che figura nel 2° membro della (14.02) è uguale a 0,245857.

− x

∞ e dx

∫ = 0,245857

Abbiamo cioè: +

1 ln

1 x

Tenendo presente la (14.06), ⎛ ⎞

−

( 1

) 1

s h

h

∑ ∑∑ ⎜ ⎟ − −

( 0

, 245857

) 0

,

668307

troviamo: = (14.07)

! = e

k ⎜ ⎟ +

+ 1

! ( 1

) k

⎝ ⎠

s

h s

≥ ≥ =

0 0 0

k h s

La serie multipla indicata nel 1° membro della (14.07) definisce una serie divergente,

−

rappresentata dal valore numerico uguale a 0

, 668307 .

14.01 Consideriamo la serie: 1

∑ − 2

( 1

) (ln ) = (14.08)

k k

x + 2

1 (ln )

x

≥ 0

k

Il 2° membro della (14.08) l’abbiamo ottenuto applicando la (3.04).

−1 < < , e diverge per

Il 1° membro della (14.08) è una serie che converge per e x e

−

< ≤ ≥

1

0 , e per . Pertanto, applicando alla (14.08) l’integrale di cui al punto ,

x e x e 3.01

otteniamo una nuova serie divergente, definita da:

∞ ∞ dx

∑ ∫ ∫ −

−

− 2

( 1

) ( ln ) = (14.09)

x

k k x e

x e dx + 2

1 (ln )

0

0 x

≥ 0

k

Operando sui due membri della (14.09), troviamo:

lim

∞ ∞

∑ ∑ ∑

∫ ∫ ε

− −

− − − Γ

( 2 )

2 ( 2 )

( 1

) ( ln ) ( 1

) = ( 1

) (

1

) (14.10)

=

k k x k k x k k

x e dx D x e dx

ε

ε → 0 0

0

≥ ≥ ≥

0 0 0

k k k

44

∞ dx

∫ − = 0,608816 (14.11)

x

e + 2

1 (ln )

0 x

Uguagliando il risultato della (14.10) con quello della (14.11), otteniamo:

∑ − Γ ( 2 )

( 1

) (

1

) = 0,608816 (14.12)

k k

≥ 0

k

Nell’Allegato B, punto 7), abbiamo riportato un procedimento per il

Γ (k ) .

calcolo