Topologia della retta e limiti

La topologia della retta

Intorno completo

dato un numero reale x0, si chiama intorno completo di x0 un qualunque intervallo aperto I(x0) contenente x0:
I(x0) = ]x0 - ᵹ 1 ; x0 + ᵹ2 [

Intorno circolare

Dato un numero reale x0 e un numero reale ᵹ, si chiama intorno circolare di x0, di raggio ᵹ, l’intervallo aperto Iᵹ(x0) di centro x0 e raggio ᵹ: Iᵹ(x0)= ]x0 - ᵹ ; x0 + ᵹ [

Intorni di infinito

Dati a, b appartenenti a R, con a Intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente
Intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente
Si definisce intorno di infinito l’unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞.

I punti isolati

Sia x0 un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di R. Si dice che x0 è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di x0 che non contiene altri elementi di A diversi da x0.

Punti di accumulazione

Si dice che il numero reale x0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A.

I limiti

Nello studio di una funzione, il limite, è il valore al quale tende una funzione nelle vicinanze del suo dominio.Il limite ci permette di verificare come si comporta la funzione nelle vicinanze del suo dominio.
Teorema di unicità del limite
Se per x che tende x0 la funzione f(x) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico.

Teorema di permanenza

Se il limite di una funzione per x che tende a x0 è un numero l diverso da zero, allora esiste un intorno I di x0 in cui f(x) e l sono entrambi positivi o negativi.
Teorema del confronto
Siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni con lo stesso dominio. Se in ogni punto diverso da x0 del dominio risulta:
h(x) e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x0 è uno stesso numero l, allora anche il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale a l.