Teoremi sulle successioni

Teoremi sulle successioni monotone

Come abbiamo già visto, una successione si dice monotona se essa crescente, debolmente crescente, decrescente o debolmente crescente. Se una successione è monotòna, o definitivamente monotòna, valgono per essa i seguenti teoremi: Teorema 1: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è limitata superiormente, allora essa è convergente, cioè ammette limite. Teorema 2: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è limitata inferiormente, allora essa è convergente, cioè ammette limite. Teorema 3: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è illimitata superiormente, essa diverge positivamente, cioè tende a più infinito. Teorema 4: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è illimitata inferiormente, essa diverge negativamente, cioè tende a meno infinito. Possiamo quindi riassumere i teoremi precedenti, dicendo che una successione monotòna ammette sempre limite, sia che essa sia limitata, sia che non lo sia. Il seguente teorema è molto utile, e permette di calcolare limiti di successioni che non saremmo in grado di calcolare altrimenti, o che risulterebbero particolarmente difficili: Teorema del confronto Siano tre successioni numeriche tali che si abbia: \[ a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \] sapendo, inoltre, che le successioni e tendono allo stesso limite , cioè che: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} c_n = l \] si può concludere che anche la successione , compresa tra esse per ogni , tenda allo stesso limite . Esempio: Calcoliamo il seguente limite di successioni: \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \sin(n) \right) \] Notiamo che il limite, così come si presenta, non può essere calcolato, in quanto non esiste il limite per che tende all’infinito di . Ricordiamo, però, che il seno è una funzione compresa sempre tra e ; possiamo sfruttare questa ipotesi per dedurre che la nostra successione è compresa tra e , infatti si ha: \[ -1 \le \sin(n) \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n} \] Siamo nelle ipotesi del teorema del confronto: infatti, abbiamo una disuguaglianza che riguarda tre successioni, delle quali conosciamo il limite per che tende all’infinito di quelle ai lati della disuguaglianza; infatti, sappiamo che: \[ \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{n} \right) = \lim_{n \to +\infty} \left( -\frac{1}{n} \right) = 0 \] Per il teorema del confronto, possiamo concludere che anche la successione tende a zero, per che tende all’infinito. Il teorema del confronto si può estendere anche al caso di successioni divergenti: Teorema del confronto (successioni divergenti) Siano e due successioni numeriche tali che si abbia: \[ a_n \le b_n \quad \forall n \in \mathbb{N} \] Possiamo considerare i due seguenti casi:

• Se
  [math]a_n[/math]
  diverge positivamente, cioè tende all’infinito, allora anche
  [math]b_n[/math]
  diverge positivamente, cioè, in simboli: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty \]
• Se
  [math]b_n[/math]
  diverge negativamente, cioè tende a meno infinito, allora anche
  [math]a_n[/math]
  diverge negativamente, cioè: \[ \lim_{n \to +\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \]
• Se
  [math]b_n[/math]
  è limitata dall’alto, allora anche
  [math]a_n[/math]
  è limitata dall’alto;
• Se
  [math]a_n[/math]
  è limitata dal basso, allora anche
  [math]b_n[/math]
  è limitata dal basso.

Vediamo, ora, altri due teoremi che ci permettono di semplificare molto il calcolo dei limiti: Teorema (criterio del rapporto) Sia una successione numerica, positiva. Se esiste il limite del rapporto tra un termine e il suo precedente e vale , cioè: \[ \text{se } \exists \lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l \] possiamo determinare il limite della successione in base al valore di , e in particolare:

• se
  [math] 0 \le l < 1[/math]
  , allora la successione
  [math]a_n[/math]
  tende a zero: \[ l \in [0; 1) \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \]
• se, invece,
  [math] l > 1[/math]
  , allora la successione
  [math]a_n[/math]
  diverge positivamente: \[ l \in (1; +\infty) \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \]

Osserviamo che, nel caso in cui il limite del rapporto sia proprio , il teorema non ci dà informazioni sul limite della successione, e infatti, non possiamo concludere nulla. Teorema (criterio della radice) Sia una successione numerica, positiva. Se esiste il limite della radice n-esima di e vale cioè: \[ \text{se } \exists \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = l \] possiamo determinare il limite della successione in base al valore di , e in particolare:

• se
  [math] 0 \le l < 1[/math]
  , allora la successione
  [math]a_n[/math]
  tende a zero: \[ l \in [0;1) \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \]
• se, invece,
  [math] l > 1[/math]
  , allora la successione
  [math]a_n[/math]
  diverge positivamente: \[ l \in (1; +\infty) \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \]

Anche in questo caso, non possiamo concludere nulla nel caso in cui il limite della radice sia .

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