Teorema del valor medio

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Il teorema del valor medio

Se y = g(x) è una funzione continua nell'intervallo chiuso [a, b] e derivabile nell'intervallo aperto (a, b),

allora esiste almeno un numero c compreso tra a e b tale che:

g b g a c

g'

b a

Funzione derivabile

g t sin t

Estremi dell'intervallo

b 1.8

a 1

Velocità media di variazione nell'intervallo

g b g a

m ab b a

In accordo con il Teorema del Valor Medio, in un punto dell'intervallo il coefficiente angolare della retta

tangente alla curva sarà uguale a ma b.

Cerchiamo di trovare tale punto 1.1

risolvendo l’equazione.

d 1.05

c m

g ab

d c

c = 1.405 1

Rappresentazione grafica

Rappresentazione grafica di g(t), della 0.95

secante congiungente gli estremi

dell'intervallo e della tangente in c. 0.9

r a, a .01 .. b 0.85

.

s t g a t a m ab

.

u t g c t c m 0.8

ab 1 1.2 1.4 1.6 1.8

sin(t)

Coefficiente angolare della secante: (a, sin(a))

m = 0.165 (b, sin(b))

ab Secante congiungente gli estremi

(c, sin(c))

Coefficiente angolare della tangente in Tangente in (c, sin(c))

c = 1.405:

d g c = 0.165

dc