Analisi matematica le derivate esercizi svolti

D.P. novembre 2021 - Analisi Matematica

Le derivate

Esercizi svolti

• Calcolare la derivata in un punto c, mediante la definizione di limite del rapporto incrementale
• Derivata sinistra e destra.
• Significato geometrico della derivata in un punto c
• Punti di non derivabilità

A (1;4) D (-4;4) BC 121

Verifichiamo se in la funzione data esiste.

Controlliamo il dominio: 2

Sì lo è.

Applichiamo la definizione di derivata. quale limite del rapporto incrementale ℎ 1lim′ ℎ→

Calcoliamo il rapporto incrementale nel punto c=1

1 ℎ 1 ℎ1 ℎ 2 1 ℎ 1 ℎ01 02 1 ℎℎ 1 1 ℎℎℎ ℎ 1 1ℎ 1 ⋅ℎ 1 ℎ ℎ 1 ℎ

Ed ora il limite: ℎ 1 1lim lim 1ℎ 1 ℎ→ →

Concludiamo che: 1 1′;

Nel punto di coordinate la retta tangente ha coefficiente angolare ’

L’equazione della tangente in tale punto è: ′0 1 1: 1

La tangente t passante per il punto A(1;0) è una retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante con intercetta uguale a -1 35

Nel punto la funzione è definita.

Infatti il suo dominio è ∈ | "1

Applichiamo la definizione di derivata calcolata in un punto:

5 ℎ 55 lim′ ℎ→ 5

Calcoliamo il rapporto incrementale nel punto

1 15 ℎ ℎ 1 ℎ√5 √41 15 2√4 11 2 ℎ√425 ℎ 5 ℎ 2√4 ℎ√4ℎ ℎ h

Passiamo al limite

5 ℎ 5lim& ℎ→2 ℎ√4 2 ℎ2 ℎ 1√4√42√4 ℎlim lim ⋅' (h ℎ2√4 ℎ 2 ℎ√4→ →4 4 ℎlim 2ℎ√4 ℎ 2 ℎ√4→ ℎlim 2ℎ√4 ℎ ℎ*)2 √4→ 1 1 1 1 1 1 1lim ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 8 16ℎ 2 ℎ ⋅ 2√4 √4 √4 √4→ 15′ 16 40∉

Escludiamo la C perché Le altre sono tutte corrette.

A) 3 ℎ 3 3 ℎ 9 3 9 3 ℎ 9/ / /lim lim3 lim′ ℎ ℎ ℎ→ → →

B) 0 ℎ 0 0 ℎ 3 0 3 3 ℎ 9/ / /0 lim lim lim′ ℎℎ ℎ→ → →

D) 2 ℎ 2 2 1 92 ℎ 1 3 ℎ/ / /2 lim lim lim′ ℎ ℎ ℎ→ → →

• ’ 2 2 0 → retta a. decrescente pendenza negativa;
• ’ 0 " 0 → b. retta crescente pendenza positiva;
• ’ 3 0 → c. retta orizzontale pendenza nulla;
• ’ 4 2 0 → d. retta decrescente pendenza

Tracciamo le tangenti alla curva nei punti indicati. negativa;

Il valore della derivata prima in essi è il coefficiente angolare di queste rette. 5

Calcola la derivata destra e la derivata sinistra

Calcola la derivata destra e la derivata sinistra delle seguenti funzioni nei punti indicati

43→ 3 = −1

Quando consideriamo il ramo 53+ℎ − 33 = lim′