Successioni e serie

Serie di Wallis n

s = 1

1 = 1 – 1 = 0 1 per n dispari

s 2 Î Î

s = 1 – 1 + 1 = 1.......................Î s = non esiste lim s serie oscillante

3 n n

0 per n pari

2 n

a + aq + aq + ................ + aq + ................

Serie geometrica

∝ Î

lim s = + per |q| > 1 serie divergente

n Î

lim s = a/(1 – q) per |q| < 1 serie convergente

n Î Î Î

per q = 1 s = n*a lim s = +∝ serie divergente

n n

casi particolari: 0 per n pari

Î Î

per q = – 1 s = serie oscillante

n a per n dispari

Criterio di Cauchy per la convergenza di una serie

Teorema: Se una serie è convergente allora il suo termine generale a tende a zero per n→∝, cioè

n

lim a = 0

n

n→∝

Questa è una condizione necessaria, ma non sufficiente.

Criterio di Cauchy (o criterio generale di convergenza): una serie è convergente se, e solo se,

ε, η

fissato ad arbitrio un numero positivo è possibile determinare un indice tale che, per ogni n

η

> e per ogni numero naturale k, si abbia: ε

|r | = |a + a + ................. + a | <

n,k n+1 n+2 n+k

1 + ½ + 1/3 + .... + 1/n +.......

Serie armonica 5

Pur essendo lim a = 0, la serie non è convergente; infatti per ogni n e per k = n risulta:

n

1 1 1 1 1 1 1 1

= + + + ≥ + + + = =

..........

....... ........ *

r n

, + + +

n n 1 2 2 2 2 2 2

n n n n n n n n

≥ ε

Î r ½ e non |r | <

n,n n,n

Resto n-esimo di una serie: R = S – S = a + a + .....

n n n1 n+2

Per le serie convergenti può essere considerato come differenza tra la somma S della serie stessa

e la sua ridotta n-esima.

Una serie e il suo resto n-esimo hanno lo stesso carattere.

Criteri di convergenza

• Serie a termini positivi

1) Criterio del confronto (o di Gauss) Î

a + a + a + .......... + a + ..... serie minorante

1 2 3 n

≤

Se per ogni n risulta a b

n n b + b + b + .......... + n + .....Î serie maggiorante

1 2 3 n

convergente se ammette una maggiorante convergente

Una serie è divergente se ammette una minorante divergente

2) Secondo criterio del confronto (o criterio del confronto asintotico)

∑ ∑

Date le due serie a termini positivi a e b , si supponga che esista il lim a /b = l

n n n n n n

n→∝

∑ ∑

a) se la serie b è convergente e il limite è finito (l≥0), allora anche a è convergente;

l

n n n n ∑

∑ b è divergente e il limite è non nullo (finito o infinito), allora anche a

b) se la serie l

n n n n

è divergente.

3) Criterio del rapporto (o di D’Alembert))

Se per una serie a termini positivi si ha:

Î

per k < 1 serie convergente

Î

lim a / a = k per k > 1 serie divergente

n+1 n

n→∝ Î

per k = 1 non si può stabilire il carattere della serie

4) Criterio della radice (o di Cauchy)

Se per una serie a termini positivi si ha:

Î

per k < 1 serie convergente

n

√a Î

lim = k per k > 1 serie divergente

n

n→∝ Î

per k = 1 non si può stabilire il carattere della serie

6

• Serie a termini di segno qualunque

Una serie a termini di segno qualunque si dice assolutamente convergente quando converge la

serie dei valori assoluti dei suoi termini.

Criterio generale

1) Una serie assolutamente convergente è anche convergente (ma non viceversa)

Criterio di Leibniz

2) Una serie con segni alterni è sicuramente convergente se:

≥ ≥ ≥ ≥

| |a | |a | .........|a | ..... e lim a = 0

|a

1 2 3 n n

n→∝ è

In una serie convergente di somma S il resto n-esimo R

n

= S – S e si ha che lim R = 0

R

n n n

n→∝ | < |a | cioè,

Per una serie a segno alterno che soddisfi il criterio di Leibniz si ha |R n n+1

sostituendo a S il valore S l’errore che si commette non supera, in valore assoluto, il primo

n

termine trascurato. Serie notevoli

Σ Î Î

Serie di Mengoli 1/n(n+1) serie convergente S = 1

n n+1

Σ Î

Serie di Wallis (– 1) serie indeterminata

n Î convergente

|q| < 1

n

Σ Î

Serie geometrica aq |q| > 1 e q = 1 divergente

n Î indeterminata o oscillante

q = – 1

Σ Î

Serie armonica 1/n serie divergente

n

Serie armonica generalizzata (o serie di Riemann)

α Î Î

= 1 serie armonica divergente

α ≤ Î

0 divergente

α

Σ 1/n

n α Î

0 < < 1 divergente (perché maggiorante della serie armonica)

α Î

> 1 convergente (perché minorante di una serie geom. con |q| < 1)

7

Serie di funzioni

Data la successione di infinite funzioni della variabile reale f (x), f (x), ......., f (x),...... tutte

1 2 n

definite in uno stesso insieme D, si dice serie di funzioni il simbolo

Σ f (x) = f (x) + f (x) + ....... + f (x) + ......

n n 1 2 n

(Se alla variabile x si attribuisce un valore numerico, si ottiene una serie numerica che può essere

o non essere convergente)

si dice della serie.

L’insieme D insieme di definizione (o dominio) , che è l’insieme

Per ogni serie di funzioni è possibile determinare un insieme di convergenza C

⊆

dei valori di x per i quali la serie converge (C D).

Attribuendo alla x valori appartenenti all’insieme C si ottengono diversi valori della serie, che

dipendono dal particolare valore scelto per la x; si ha quindi

(x) + f (x) + ....... + f (x) + ......

f (x) = f

1 2 n

Σ f (x) converge alla funzione f(x).

e diciamo che la serie n n

Si conclude che è possibile passare da una serie di funzioni ad un’unica funzione f(x),

inversamente una funzione può essere scritta come somma di infinite funzioni, metodo noto

come sviluppo in serie.

Esempio: 2 3 n

(x) = 1/x; f (x) = 1/x ; f (x) = 1/x ; ...... f (x) = 1/x ; ......

Le infinite funzioni f

1 2 3 n

Sono tutte definite per ogni valore di x diverso da zero; la relativa serie è:

1 1 1 1 1

∑ ∞

+ + + + + =

..... .....

2 3 =

1

n n

n

x x x x x

Per x = 1 si ottiene la serie numerica divergente: n +.....

1 + 1 + 1 + ....+ 1 + 1/1

Per x = – 1 si ottiene la serie numerica oscillante: n +........

– 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1/(x – 1)

Per x = 3 si ottiene la serie convergente:

1 1 1 1 1

+ + + + + +

........ ........

2 3 4

3 3 3 3 3 n

la cui somma è ½. 8

Serie di potenze

2 3 n n

Σ

a + a x + a x + a x + ..... + a x + .... = a x ( n varia da 0 a +∝)

0 1 2 3 n n n

Per le serie di potenze valgono le seguenti proprietà:

Teorema di Abel:

Prima proprietà: se una serie di potenze converge nel punto x > 0, allora essa converge

0

assolutamente per ogni |x| < x

0

Seconda proprietà: se una serie di potenze non converge nel punto x > 0, allora essa non

0

converge per ogni x tale che |x| > x

0

Per ogni serie di potenze è possibile individuare un intervallo (– R, R), con R > 0, tale che la

serie converga assolutamente per ogni x interno all’intervallo stesso, mentre non converga per

valori esterni all’intervallo.

è detto ,

L’intervallo (– R, R) intervallo di convergenza R raggio di convergenza.

Considerazioni:

1) l’intervallo di convergenza ha sempre centro nel punto x = 0

il comportamento della serie agli estremi va analizzato caso per caso

2)

Casi particolari:

1) se R = 0 l’intervallo di convergenza si riduce al punto x = 0

2) se R = +∝ l’intervallo di convergenza si estende al campo reale

Determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze

n

Σ a x ( n varia da 0 a +∝) , se risulta:

Data una serie di potenze n n a + =

1 A

lim n

→ ∞ a

n n Î R = +∝

se lim = 0

Î R = 1 / l

con l numero finito non nullo Î

se lim = +∝ R = 0

Serie di potenze di (x – x )

0 n

Σ a (x – x ) ( n varia da 0 a +∝)

Una serie di potenze della forma n n 0

, o anche serie di potenze di punto iniziale x = x

si dice serie di potenze della variabile x – x

0 0

n

Σ

= X si ha a X ( n varia da 0 a +∝)

Ponendo x – x

0 n n

Se quest’ultima serie ha raggio di convergenza R, si ha che la serie di partenza converge per

Î

< R x – R < x < x + R

– R < x – x

0 0 0

Considerazioni:

1) l’intervallo (x – R, x + R) ha x come punto medio

0 0 0

valgono le stesse proprietà già viste

2) 9

Serie di Taylor e serie di Mac Laurin

Sia f(x) una funzione definita in un insieme D ed ivi indefinitamente derivabile.

Serie di Taylor

( ) ( )

' ( ) ' ' ( ) ( )

( )

n n

f x f x f x f x

( ) ( ) ( )

∑ ∞ 2

− = + − + − + + − +

0 0 0 0

n n

( ) ( ) .......... .....

x x f x x x x x x x

0 0 0 0 0

= ! 1

! 2

! !

0

n n n

= 0 si ha la

Per x Serie di Mac Laurin

0 ( ) ( )

( 0 ) ' ( 0 ) ' ' ( 0 ) ( 0 )

n n

f f f f

∑ ∞ = + + + + +

2

( 0 ) .......... .....

n n

x f x x x

= !

! 1

! 2

!

0

n n

n Sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari

x – x

Funzioni e ed e

(n) x (n)

x Î Î

si ha f (x) = e per ogni n f(0) = f’(0) = f’’(0) = f (0) = 1

Data la funzione f(x) = e

2 3 n n

x x x x x

∑ ∞

= + + + + + + =

1 ....... .....

x

e =

1

! 2

! 3

! ! !

0

n

n n

– x si ha:

Per f(x) = e 2 3 n n

x x x x x

∑ ∞

− = − + − + + − + = −

1 ....... ( 1

) ..... ( 1

)

x n n

e =

1

! 2

! 3

! ! !

0

n

n n

Funzioni sen x e cos x

si ha:

Per f(x) = sen x

f’(x) = cos x f’’(x) = – sen x f’’’(x) = – cos x f’’’’(x) = sen x

che si ripetono periodicamente ogni quattro derivazioni, assumendo in x = 0, alternativamente i

Î

quattro valori 1 0 -1 0 + +

3 5 7 2 1 2 1