Su alcune serie delle progressioni

GUIDO CAROLLA

Sunto. Da un’ipotesi di passaggio dal discreto al continuo delle funzioni

caratteristiche delle varie progressioni, si perviene, mediante alcuni

strumenti dell’analisi matematica: a) allo sviluppo in serie di Maclaurin

delle stesse funzioni; b) ai calcoli delle somme e dei prodotti dei primi n

termini consecutivi, con la formula di somma di Eulero-Maclaurin; c) ad

una breve esposizione di alcune altre serie delle stesse progressioni.

2

1. Alcune serie delle progressioni

1.1 Ipotesi di passaggio dal discreto al continuo.

Le formule caratteristiche delle varie progressioni sono delle funzioni

discrete che hanno la variabile indipendente, x, che assume i valori dei

pedici 1, 2, 3 …, n, … dei termini e la variabile dipendente, y, che assume i

valori dei corrispondenti termini.

Ora, sotto l’ipotesi che nei punti di ascissa x la funzione abbia dei punti di

accumulazione e considerando che in generale una funzione y = f(x) è

continua nel punto di ascissa x = a se preso a piacere un numero positivo s

piccolo quanto si vuole è sempre possibile trovare un tale numero e che per

0

ogni valore positivo e<e si abbia sempre numericamente |f (a+e) – f (a-e)|

0

< s; considerando, inoltre, che se una funzione è continua in tutti i punti di

intervallo (a,b) essa si dice continua in tutto l’intervallo e che la funzione y

= f (x) può comunque avere per diagramma una linea continua, acquista

significato considerare continue dette funzioni caratteristiche delle varie

progressioni, per cui è lecito trovare di esse le derivate e gli integrali per gli

usi che, come si vedrà, se ne possono fare.

1.2 Sviluppo in serie delle funzioni caratteristiche.

Nell’ipotesi di cui al precedente paragrafo, infatti, se la funzione f (x) e le

sue prime n derivate sono continue, supponendo che la funzione data possa

1 Piazza Mazzini, n. 24, 73100 Lecce, tel. 0832317045, e-mail: gcarolla@hotmail.com

Il presente lavoro è tratto dagli Atti del Congresso Nazionale della Mathesis1999, Vol. II,

Teramo 2001, pp. 35-44.

2 Si veda il ns. “Teoria delle progressioni armoniche…”, su Periodico di Matematiche –

Serie VII – Volume 6 – Numero 3 – Luglio-settembre 1999.

venire rappresentata da una serie di potenze di x questa serie ha

necessariamente la forma della serie di Maclaurin:

. . 2 . 3 (n) .

f (x) = f (0) + f’ (0) x / (1!) + f’’ (0) x / (2!) + f’’’ (0) x / (3!) +….+f (0)

n . n (n+1) . n+1

x / (0) x / (n!) + f (c) x /[ (n+1)! ],

dove l’ultimo termine è il resto dello sviluppo R (x), che rappresenta

n

l’errore che si commette quando si assume come valore approssimato della

funzione f (x) la somma dei primi n+1 termini dello sviluppo e dove c indica

un certo valore intermedio fra 0 e x.

Pertanto, ma solo per pura ricerca e comunque con fini teorici più che

pratici, per i casi in cui non si annullano i denominatori, si sono ottenuti gli

sviluppi in serie di Maclaurin delle funzioni caratteristiche delle

∈ +

progressioni armoniche, logaritmiche e potenziate erresime, ?

a R ; gli

i

sviluppi rappresentano tali funzioni per quei valori, e solo per quei valori, di

=

R ( x

) 0

x per i quali :

lim n

→

∞

n .

a) per la funzione caratteristica della progressione armonica si ha f(x) = d a 1

2 3

a a

. . . . 2 . . 2 3

/ [ d + (x - 1) a ] = d a / (d - a ) – d x / (d - a ) + d x / (d -a ) – d

1 1

1 1 1 1 1

4 n+1

a a

. . 3 4 n . . . n n+1

x / (d - a ) +…(-1) d x / (d - a ) + R , dove il resto è R = (-

1 1

1 1 n n

n+1

n+ 2 x

a

n+1 . . . . n+2

1) d / (a c – a + d) , con 0<c<x, rappresenta l’errore che si

1 1 1

commette quando si assume come valore approssimato della funzione f(x) la

somma dei primi n+1 termini dello sviluppo;

b) per la funzione caratteristica della progressione logaritmica si ha:

−

x 1 . . 2 2 2 . 2

q 1 / q

a

f(x) = = a {1 + ln q ln a / q x + ln q ( ln a / q + ln a / q) x / /

1 1 1

1 1

3 3 3 2 2 . 3 4 4 4

(2!) + ln q ( ln a / q + 3 ln a / q + ln a / q) x / (3!) + ln q ( ln a / q

1 1 1 1

3 3 2 2 . 4 n n n

+ 6 ln a / q + 7 ln a / q + ln a / q) x / (4!) +…+ ln q ( ln a / q + b

1 1 1 1

n-1 n-1 n-2 n-2 2 2 . n

ln a / q + d ln a / q +…+ z ln a / q + ln a / q) x / (n!)} + R

1 1 1 1 n

dove i coefficienti

b = b + n - 1, d = d + b (n – 2), z = 2z + 1 dipendono dai corrispondenti

1 1 1

coefficienti dei termini precedenti e dove il resto è

−

c 1 . n+1 . (n+1) (c-1) . n+1 n (c-1) . n

q

a

R = ln q [q ln a + (b + n) q ln a +

n 1 1

1 . (n-1) (c-1) . n-1 2 (c-1) . 2

+ [ d + b (n – 1) ] q ln a +…+ (2z + 1) q ln a +

1 1

c-1 . . n+1

+ q ln a ] x / [ (n+1)! ], con 0 < c < x ;

1

un altro sviluppo in serie, equivalente ma meno complesso di quello di cui

sopra, è dato dal seguente limite

[ ( )

− − − 2

x 1

= = + ⋅ + ⋅ +

q x 1 x 1

f ( x ) a lim 1 q ln a / 1

! q ln a / 2

!

1 1 1

→

∞

n

( ) ( ) 

3 n

− −

+ ⋅ + + ⋅

x 1 x 1

q ln a / 3

! ... q ln a / n

!



1 1

c) per la funzione caratteristica della progressione potenziata r.esima si ha

[ ]

= + − ⋅ = − + ⋅ ⋅ − ⋅ − −

r r r r

r r r

f ( x ) a ( x 1

) d a d x d a d r ( a d )

1 1 1 1

[ ]

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

2 2 r 2 r 2 3 3

r

x d (

r 1

) a d 2 ! r ( a d ) x d ( r 1

) ( 2 r 1

)

1 1

[ ] −

⋅ − ⋅ ⋅ − + + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

r 3 r 3 n 1 n n

r a d 3 ! r ( a d ) ... ( 1

) x d (

r 1

) (

2 r 1

) ...

1 1 [ ]

[ ]

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +

r n r n

r .

(

n 1

) r 1 a d n ! r ( a d ) R

1 1 n

dove il resto è + +

= + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −

n n 1 n 1 r

r

R ( 1

) x d (

r 1

) ( 2 r 1

) ... ( n r 1

) a d c d

n 1

( )

 

+

( ) n 1

+

+ ⋅ ⋅ + ⋅ −

n 1 r

n 1 ! r a d c d ,

 

1

con 0 < c < x .

Si può dedurre che con le progressioni armoniche e con le logaritmiche lo

sviluppo in serie di Maclaurin di un qualunque termine positivo di queste,

pur prendendo solo pochi termini dello sviluppo, si avvicina molto al valore

reale, a condizione che si tenga conto del resto. Infine, si può dedurre che

con le progressioni potenziate r.esime lo sviluppo in serie di Maclaurin di

un termine positivo qualunque, pur prendendosi pochi termini dello

r

sviluppo, si avvicina molto al valore reale, alla condizione che si abbia a >

1

d e quanto più alta è la differenza tra i due membri di detta disuguaglianza,

tanto più è soddisfacente il valore dello sviluppo in serie di Maclaurin di un

termine qualunque.

1.3 Calcolo della somma e del prodotto dei primi termini consecutivi delle

progressioni.

La soluzione del problema del calcolo della somma e del prodotto dei primi

termini consecutivi delle progressioni trattate comprese le aritmetiche e

geometriche si ha per via diretta, soltanto con le note formule:

.

S = (a + a ) n / 2 (p. aritmetica),

n 1 n n . n/2

S = a (1 – q ) / (1 – q) e P = ( a a ) (p. geometrica),

n 1 n 1 n

. n

P = antiln [ln a (1 – q ) / (1 – q) ] (p. logaritmica).

n 1

Ora, però, il problema, nell’ipotesi del paragrafo 1.1, presenta un’altra

interessante soluzione, condotta solo per pura ricerca e comunque con scopi

più teorici che pratici, con la formula di somma di Eulero-Maclaurin, nella

quale sono stati maggiorati l’indice della sommatoria da n – 1 ad n,

conseguentemente il limite superiore dell’integrale definito da n ad n + 1 ed

anche i valori della variabile indipendente della funzione f e quelle dei valori

v

delle derivate di ordine dispari della stessa funzione f ’, f ’’’, f , …, da n a n

+ 1, per cui è:

+

n 1

n { } { }

∑ ∫

= − ⋅ + + + ⋅ + − −

f ( x

) f ( x )

dx 1 / 2 f (

0

) f ( n 1

) 1 / 12 f ' ( n 1

) f ' (

0

)

=

x 1 0 { }

{ } ( )

[ ]

− − −

− ⋅ + − + + − ⋅ − ⋅ + − +

p 2 (

2 p 2

) ( 2 p 2

)

1

/ 720 f ' ' ' (

n 1

) f ' ' ' (

0

) ... ( 1

) B 2

p 1 ! f (

n 1

) f (

0

)

−

p 1

{ }

[ ]

− − −

+ − ⋅ ⋅ + −

p 1 ( 2 p 1

) ( 2 p 1

)

( 1

) B ( 2 p

) ! f ( n 1

) f (

c )

p

dove B è il p.esimo numero di Bernoulli, i cui primi numeri B = 1/ 6,B =

p 1 2

1/ 30, B = 1/ 42,B = 1/ 30,B = 5/66, ecc. permettono di ottenere i

3 4 5

. .

coefficienti, a partire da B / (2 1)! = 1/ 12 ed a seguire con –B , / (2 2)! =

1 2

.

-1/ 720, B / (2 3)! = 1/ 30240, ecc.

3

Essendo il termine { }

[ ]

− − −

= − ⋅ ⋅ + −

p 1 ( 2 p 1 ) ( 2 p 1 )

R ( 1

) B (

2 p

) ! f ( n 1

) f ( c

)

p p

quello che dà la misura dell'errore che si commette, nel calcolo del valore

approssimato della somma dei primi n termini della funzione f(x), quando si

assume come ultimo termine della formula di somma di Eulero-Maclaurin il

termine che precede R e dove 0 < c < x, avendo sostituito in R il valore f

p p

(2p – 1) (2p -1)

(c) al posto di f (0).

L'applicazione di detta formula, purché nei calcoli non si annullino i

denominatori, sia pure soltanto con l'uso delle derivate prime, terze e quinte,

permette di calcolare la somma e il prodotto dei primi n termini consecutivi

di una progressione con soddisfacente approssimazione e questa verrà

ridotta ulteriormente con l'uso delle altre derivate di ordine dispari. Pertanto,

si sono ricavati gli integrali e le derivate prime, terze e quinte, tanto delle

funzioni caratteristiche delle varie progressioni ai fini del calcolo delle