Pi greco - Analisi

⌢

ε ROS

può essere resa piccola a piacere. Una volta scelto un valore di , sul segmento RS insiste l’angolo al centro .

Segue dal postulato di Eudosso – Archimede che esiste un sottomultiplo n-esimo dell’angolo giro di ampiezza minore

⌢

ROS

dell’ampiezza di . Se tale sottomultiplo è rappresentato con il vertice in O e la bisettrice coincidente con la

ε

semiretta OH, esso staccherà sulla tangente alla circonferenza in H un segmento AB di misura minore di . Il segmento

AB, d’altra parte è il lato del poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza.

5) ( ) ( )

≥ − <

n 3 2 P 2 p 4 L

Teorema – Per qualsiasi si ha: .

n

n n

Dimostrazione – Il poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza abbia centro O e sia A uno dei suoi vertici.

Il poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza abbia centro O e sia H uno dei suoi vertici. I due poligoni sono

( ) ( ) =

2 P : 2 p OA : OH

simili e tra i rispettivi perimetri e i segmenti OA e OH sussiste la proporzione . Allora

n n

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− = − − = ⋅ − ⋅

2 P 2 p : 2 p OA OH : OH 2 P 2 p : 2 p 8 OA OH : 8 OH

e anche .

n n n n n n

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ = < − < ⋅ −

8 OH 2 P 2 p 2 P 2 P 2 p 8 OA OH

Poiché e segue che .

4 n 4 n n − <

OA OH AH

I segmenti OA e OH sono lati di un triangolo OHA e quindi . Pertanto

( )

( ) ( )

− < ⋅ = ⋅ =

2 P 2 p 8 AH 4 AB 4 L .

n

n n

6) ( ) ( ) ε

− <

2 P 2 p 4 L

Si è dimostrato che ; d’altra parte, scelto un segmento di misura arbitrariamente piccola, esiste

n

n n ( ) ( )

ε

≥ < −

n 3 L 2 P 2 p

sempre un numero naturale tale che . Allora la differenza diviene, al crescere di n, di

n n n

misura arbitrariamente piccola. Gli insiemi A e B sono quindi indefinitamente ravvicinati e perciò contigui.

π

IL NUMERO

Nell’insieme dei numeri reali esiste l’elemento separatore degli insiemi contigui A e B. Tale numero è tradizionalmente

π.

indicato con il simbolo

Poiché il cerchio è una figura convessa circoscritta a tutti i poligoni regolari in esso inscritti e inscritto in tutti i poligoni

π

regolari a esso circoscritti, si assegna “naturalmente” il valore al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la

lunghezza del suo diametro. In questo modo viene misurata per la prima volta in geometria la lunghezza di una linea

curva. Si dice anche che la circonferenza di raggio r ha una lunghezza uguale a quella di segmento di lunghezza 2πr.

Tale segmento è detto circonferenza rettificata.

L’esistenza di un elemento separatore non fornisce alcuna informazione sulle sue proprietà. In particolare non consente

di sapere se tale elemento è un numero razionale o irrazionale.

π π

Le prime cifre decimali di sono note dall’antichità. Archimede (morto nel 212 a. C.) riuscì a dimostrare che è

10 10

+ + π

3 3

compreso tra e . Lo sviluppo decimale di = 3,1415926535897323846… non mostra alcuna traccia di

71 70

regolarità, ma è noto che ciò non dimostra la sua irrazionalità.

π

La dimostrazione dell’irrazionalità di fu ottenuta nel 1761 da Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Egli era riuscito

{ }

∈ ∈

ℚ ℝ ℚ

x \ 0

a dimostrare che, se , allora tan x \ e

π π

∈ ∈

ℚ ℝ ℚ

tan \

viceversa. Poiché , allora e così pure

4 4

π. La dimostrazione di Lambert era incompleta e fu resa

rigorosa da Adrien Marie Legendre (1752-1833); Legendre

π

dimostrò che anche il quadrato di è irrazionale.

Una delle sfide che dall’antichità ha appassionato i

matematici è la quadratura del cerchio, ossia la costruzione

con la riga e il compasso di un quadrato equivalente a un

cerchio di raggio r assegnato. Se, assegnato il segmento di

lunghezza r, si riuscisse a costruire un segmento di

πr,

lunghezza il problema sarebbe risolto. La figura mostra come costruire il segmento CH, medio proporzionale tra

πr,

AH, di misura e HB, di misura r. CH è il lato di un quadrato equivalente al cerchio di raggio r.

π πr

Il fatto che sia irrazionale non pone ostacoli di per sé alla costruzione del segmento a partire dal segmento r. Il caso

2r

della costruzione del segmento mostra che è possibile costruire segmenti di misura irrazionale.

È stato dimostrato il seguente risultato: “La

costruzione con la riga e il compasso, a partire da un

segmento r, di un segmento di misura kr è possibile

se e soltanto se k è un numero razionale oppure k è un

numero irrazionale ottenuto eseguendo un numero

finito di operazioni razionali (addizione,

moltiplicazione, sottrazione, divisione) e di estrazioni

di radici quadrate sopra numeri razionali”. Per

esempio a partire dal segmento di misura r non è

3 2r ,

possibile costruire il segmento di misura

mentre è possibile costruire il segmento di misura

4 4

2r 2r 2r

. In figura: AB misura r; AC e AD misurano ; AE, che è medio proporzionale tra AB e AD, misura .

Tutti i numeri k, in corrispondenza ai quali si può costruire con la riga e il compasso un segmento di misura kr, a partire

dal segmento di misura r, appartengono all’insieme dei numeri algebrici. L’insieme dei numeri algebrici è l’insieme

delle soluzioni delle equazioni razionali intere a coefficienti interi, ossia delle equazioni della forma

− −

+ + + + + + =

n n 1 n 2 2

…

a x a x a x a x a x a 0

− −

n n 1 n 2 2 1 0 ( )

≠

a 0

essendo n un numero naturale diverso da zero ed essendo a , a , … , a numeri interi . Sono numeri algebrici,

0 1 n 0

∈ ∈

n ℕ ℕ

m n m

per esempio, tutti i numeri del tipo , essendo e : essi infatti sono soluzione dell’equazione

0

− =

n 0

x m , che è del tipo introdotto.

Esistono numeri irrazionali non algebrici, detti numeri trascendenti. L’esistenza di tali numeri fu dimostrata nel 1844 da

Joseph Liouville (1809-1882) che costruì una intera classe di numeri di questo tipo. I numeri irrazionali trascendenti

sono molto più “numerosi” dei numeri irrazionali algebrici: si è dimostrato che l’insieme dei numeri irrazionali

algebrici è numerabile, mentre l’insieme dei numeri irrazionali trascendenti ha una potenza superiore alla potenza del

numerabile. π.

La scoperta dei numeri trascendenti non fece che infiammare nuovamente le discussioni sulla natura di Finalmente

π

nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) riuscì a dimostrare che è trascendente, utilizzando tecniche di

calcolo sviluppate nella matematica dei numeri complessi.

π π

La dimostrazione della trascendenza di escluse la possibilità che fosse algebrico e pose fine al problema della sua

costruzione con riga e compasso, che è impossibile, come è impossibile la quadratura del cerchio con metodi

elementari, ossia utilizzando una riga per tracciare segmenti, senza far uso di unità di misura, e un compasso per

tracciare circonferenze, senza far uso di unità di misura. Sono noti fin dall’antichità classica metodi non elementari,

come quello della curva quadratrice di Dinostrato, che consentono di ottenere la quadratura del cerchio.

π.

L’unica sfida rimasta aperta riguardava la determinazione delle cifre decimali di Alla fine del secolo XIX Shanks

π a

determinò con 707 cifre decimali. Nel 1945 Ferguson si accorse di un errore di Shanks alla 527 cifra e raggiunse il

record di 808 cifre decimali con una delle prime calcolatrici da tavolo. Per i matematici era finito l’incubo degli

interminabili calcoli a mano. Nel 1948 Smith e Wrench arrivarono alla millesima cifra. L’avvento del computer portò a

un incremento vertiginoso delle cifre decimali: il primo milione fu determinato nel 1973; nel 2002, un calcolatore

⋅ 12

1, 2411 10

dotato di 1 TB di memoria, dopo circa 600 ore di lavoro ha raggiunto le cifre decimali. Oggi determinare

un numero sempre maggiore di cifre decimali non ha alcuna utilità, se non quella di mettere alla prova i calcolatori.

π.

In 81.6 s con Derive 6 si sono determinate le prime 100000 cifre di Sono riportate qui di seguito.

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421

170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489

549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936

072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213

841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527

248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931

767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301

465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999

983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378

387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805

321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353

018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983

817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678

374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381

501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150

302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991

198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147

723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855

620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538

837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949

450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512

694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517

493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838

689427741559918559252459539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843

904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285

060168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743

241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609

178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414

515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101

457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484

810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426

912397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697

920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881

907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062

804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791

984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725

121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618

351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154

814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597

463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380

197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426

243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820

653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494

416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127