L'IPOTESI DEL CONTINUO

Oggi parleremo dell'ipotesi di Cantor del continuo. Finora abbiamo parlato del concetto di cardinalità di un insieme. Sappiamo che è un concetto che si riferisce al numero degli elementi che formano un insieme. Abbiamo anche visto che quando gli insiemi sono finiti di possono numerare, nel senso che si può assegnare un numero naturale a ciascuno di questi in modo consecutivo. D'altra parte, quando si tratta d'insiemi con infiniti elementi, l'idea di numerare ciascuno di essi è possibile mediante quella che abbiamo chiamato corrispondenza biunivoca, che è una corrispondenza che assegna un numero naturale a ciascuno degli elementi di un insieme. Abbiamo chiamato numerabili gli insiemi in cui ciò era possibile. Abbiamo anche visto, però, che ci sono insiemi che non sono numerabili e per far riferimento, in qualche modo, alla "quantità" di elementi che hanno, siamo ricordi al concetto di cardinalità. In modo che il cardinale di un insieme non è esattamente un numero, ma piuttosto un concetto associato all'idea di grandezza numerica. In fondo è un trucco straordinariamente ingegnoso per sapere quanto è grande un insieme. Di fatto, il trucco consiste nel confrontare insiemi mediante una regola di gioco molto ben definita che ci permetta di essere sicuri che entrambi gli insiemi sono uguali di grandezza oppure no, senza che importi se si tratta di insiemi finiti o infiniti.

Così come Cantor chiamò aleph-zero il cardinale dei numeri naturali,

[math]|\mathbb{N}|=ℵ_{0}[/math]
, a quello dei numeri reali
[math]\mathbb{R}[/math]
diede un nome alternativo, lo chiamò
[math]c[/math]
, il continuo.
Il motivo è che i numeri reali "riempiono" completamente la retta (chiamata anche retta reale) e dato che questa retta è ora una successione continua di numeri (non ha buchi) può ricevere il qualificativo del continuo.
Secondo ciò,


[math]|mathbb{R}|=c=2^{ℵ_{0}}[/math]


Però i numerti aleph formano una successione crescente nel senso che:


[math]ℵ_{0}<ℵ_{1}<ℵ_{2}<...[/math]


A questo punto Cantor si pose la seguente domanda: esiste un cardinale che sia compreso tra quello dei numeri naturali e il continuo? In qualche modo Cantor intuì che si verificava l'uguaglianza:


[math]2^{ℵ_{0}}=ℵ_{1}[/math]


Ossia che non esistono insiemi la cui "grandezza" si trovi tra quella dell'insieme dei numeri naturali e lasciare dei numeri reali. Questa congettura si chiama ipotesi del continuo. Cantor fece grandi sforzi, al limite dell'esaurimento, per dimostrare questo risultato. In più di un'occasione credette di esserci vicino, ma non ottenne mai una dimostrazione totalmente soddisfacente.

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