Integrali - Il volume dei solidi di rotazione

Oggi ci occuperemo come si fa a calcolare il volume dei solidi di rotazione. In particolare il problema che cercheremo di risolvere è il seguente:
Supponiamo di avere una funzione

nel piano cartesiano come questa:

Supponiamo poi di prendere due punti

e

sull'asse

e di far girare attorno all'asse

l'area delimitata dal grafico della funzione, le rette verticali

e

e l'asse delle

.

Quello che ottenete, chiaramente, è un solido di rotazione (l'ho rappresentato qui in giallo):

Quello che vogliamo capire adesso è come si fa a calcolare il volume di tale solido di rotazione. Per fare questo esiste una formula molto semplice che dice: Il volume del solido generato dalla rotazione della funzione

Quindi vedete questa è una formula che si ricorda anche abbastanza facilmente. Cerchiamo di capire molto rapidamente da dove salta fuori questa formula e poi vediamo alcuni esempi di applicazione.
Allora la formula salta fuori da un ragionamento di questo tipo:

Uno può dire: Supponiamo di calcolare il volume giallo

. Io potrei dire: Prima mi faccio una stima del volume giallo. E come faccio? Prendo il mio intervallino

e me lo divido, per esempio, in

sotto-intervallini, di lunghezza equivalente. E chiamo

che in questo caso coincide con

l'inizio del primo intervallino,

l'inizio del secondo di questi intervallini e

l'inizio del terzo di questi intervallini.

Allora io potrei dire che il volume giallo lo posso stimare come la somma del volume di questi tre cilindri. Come sarebbe il volume di questi tre cilindri? Cominciamo a calcolare il volume del primo cilindro: Il volume del cilindro si fa facendo il prodotto dell'area di base per l'altezza del cilindro. L'area di base, sarebbe in questo caso, l'area di un cerchio avente come raggio che cosa? Il raggio sarebbe il valore che la funzione assume nel punto

, il raggio di base è proprio la funzione calcolata in

. Quindi l'area di base sarebbe:

Allo stesso modo l'area del secondo cilindro sarà uguale a che cosa:

E per il terzo cilindro, replicando lo stesso identico ragionamento uno otterremo:

Naturalmente, capite subito che avendo fatto soltanto tre suddivisioni all'interno dell'intervallino

, allora la stima che io ottengo del volume è molto grezza, cioè questi tree volumi qui, questi tre cilindri, approssimano abbastanza male il vero volume giallo che volevo calcolare. E come faccio a migliorare il volume della mia stima? La cosa più furba da fare sarebbe quella di aumentare il numero di intervallini in cui suddivido l'intervallo

aumenterà la mia precisione nella stima del volume.

A questo punto, si può dimostrare che la mia stima del volume, nel caso in cui decida di dividere il nostro intervallino in

intervalli può essere scritta in questi termini:

L'idea è che fate tendere il numero delle suddivisione in infinito

allora la vostra stima del volume diventa effettivamente il vero volume giallo; perché a quel punto la vostra approssimazione inizia a diventare migliore, migliore, migliore finché nel limite in cui il numero di intervallini in cui suddividete l'intervallo

di partenza diventa infinito, allora la vostra stima diventa effettivamente il vero volume.