Insiemi di livello e limiti in più variabili

Limiti di funzioni di più variabili

La nozione di limite si estende con semplicità dalle funzioni in una variabile alle funzioni in più

variabili. Sia f : R → R una funzione in una variabile, e sia x ∈ R. Il concetto di limite viene

cosı̀ definito lim f (y) = l, con l ∈ R, se

y→x

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |f (y) − l| < ε ∀y : 0 < |y − x| < δ

ovvero, la f tende a l quando il suo argomento tende a x, se per ogni ε maggiore di zero, è possi-

bile trovare un δ maggiore di zero tale che, per ogni punto (escluso x) appartenente all’intorno di

x con ampiezza δ, la differenza (in modulo) fra la rispettiva immagine tramite f e l non supera

ε. In modo analogo si estende tale definizione anche alle funzioni in più variabili.

n

Definizione: Sia f : A → R, con A ⊂ R , e sia x un punto di accumulazione di A. Allora

lim f (y) = l, l ∈ R, se

y→x

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |f (y) − l| < ε ∀y : 0 < ky − xk < δ

L’unica differenza rispetto al caso unidimensionale è che ora x e y sono vettori n-dimensionali,

pertanto, per calcolare la loro distanza, è necessario ricorrere alla norma euclidea. Anche per

funzioni di più variabili valgono le proprietà dei limiti rispetto al prodotto, alla somma e al rap-

porto, ovvero

Proposizioni: supponiamo che

lim g(y) = l e lim f (x) = m, con l, m ∈ R, allora

y→x y→x

lim f (y) + g(y) = m + l

y→x

Vale lo stesso per il prodotto e per il rapporto, purché il limite della funzione al denominatore

sia diverso da zero.

Anche il concetto di continuità per le funzioni in più variabili è del tutto analogo rispetto alle

funzioni in una variabile. n

Definizione: si consideri una funzione f : A → R, con A ⊆ R . Si dice che f è continua

in x ∈ A se ∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |f (y) − f (x)| < ε ∀y ∈ A : ky − xk < δ

Proposizione: Se x ∈ A è un punto di accumulazione per A, allora f è continua in x se (discende

dalla definizione) lim f (y) = f (x)

y→x

Se invece x ∈ A è un punto isolato di A allora f è continua in x. Da questo si deduce che una

funzione è per definizione continua in ogni punto isolato del dominio.

Teorema: se f e g sono continue in x allora anche f + g e f · g sono continue in x. In-

fg

oltre, se g(x) 6 = 0, allora anche è continua in x. 2 3 2 2 2

Esempio: i polinomi sono funzioni continue, la funzione f : R → R : (x, y) 7→ x y + 5x y +

10

37x y è continua in tutto il suo dominio.

Proposizione: la composizione di funzioni continue è ancora una funzione continua.

3

n

Se f : A → R, A ⊂ R è continua in x ∈ A

0

e g : I → R, dove I ⊂ R è un intervallo, è continua in f (x )

0

allora la funzione g ◦ f : A → R : x 7→ f (x) 7→ g(f (x)) è continua in x .

0

Esempi:

Calcolare

1. 2

x + 2

lim 3 2

x + y + 1

(x,y)→(0,0)

2

La funzione f (x, y) = x + 2 è continua in (0, 0), poiché è un polinomio. Per lo stesso

3 2

motivo anche g(x, y) = x + y + 1 è continua in (0, 0). Inoltre, visto che quest’ultima in

fg

(0, 0) vale 1 6 = 0, allora anche la funzione (x, y) è continua in (0, 0), pertanto

2

x + 2 2

lim = =2

3 2

x + y +1 1

(x,y)→(0,0)

2. Calcolare x + y

lim 3x + sin(y − 1)

(x,y)→(2,1)

Le funzioni definite da x + y, 3x, y − 1 sono tutte continue perché sono polinomi. Dato

che il seno è una funzione continua, allora anche sin(y − 1) è continua, perché data dalla

composizione di funzioni continue. Pertanto anche il denominatore è una funzione continua,

perché somma di funzioni continue. Dato che 3x + sin(y − 1) nel punto (2, 1) vale 6 6 = 0,

allora anche l’argomento del limite è una funzione continua, pertanto

x + y 3 1

lim = =

3x + sin(y − 1) 6 2

(x,y)→(2,1)

3. Calcolare sin(xy)

lim y

(x,y)→(0,0)

Per gli stessi motivi degli esempi precedenti, anche in questo caso numeratore e denomina-

tore sono funzioni continue, ma ora il denominatore si annula nel punto (0, 0). Mettendo

in evidenza una x al numeratore, si ottiene sin(xy)

lim · x

xy

(x,y)→(0,0)

Ricordando il limite notevole sin(t)

lim =1

t

t→0

si osserva che sin(xy) =1

lim xy

(x,y)→(0,0)

e lim x =0

(x,y)→(0,0)

pertanto, dato che entrambi i limiti esistono finiti, si può concludere che

sin(xy)

sin(xy) · x = lim · lim x =1 · 0=0

lim xy xy

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0) 4

2

4. Determinare il sottoinsieme di R in cui la seguente funzione è continua

( 2

x y se |x| 6 = |y|

f (x, y) = 2 2

x −y

0 se (x, y) = (0, 0)

Per come è definita, si deduce che il dominio della f è

© ª

2

D = (x, y) ∈ R : y 6 = ±x ∪ {(0, 0)}

Figura 2: Rappresentazione grafica del dominio di questa funzione

La funzione è sicuramente continua in D\{(0, 0)}, perché composizione di funzioni continue,

resta da vedere se è continua nell’origine o meno. In base alla definizione, la f è continua

in (0, 0) se e solo se lim f (x, y) = 0

(x,y)→(0,0) 00 . Vediamo come si comporta la funzione

Il limite si presenta sotto una forma di indecisione

lungo le rette passanti per l’origine di equazione y = mx, m ∈ R, ovvero studiamo la

restrizione f (x, mx). In questo modo ci si riconduce ad una funzione di una variabile.

3

2 mx mx

mx · x = =

f (x, mx) = 2 2 2 2 2 2

x − m x x (1 − m ) 1 − m

5

Se x → 0, la restrizione f (x, mx) tende a zero. Questo però non basta per affermare che

lim f (x, y) = 0

(x,y)→(0,0) 2

Studiamo la restrizione di f alla parabola di equazione y = x − x .

3

3 4 x (1 − x) 1 − x

x − x

2 = =

f (x, x − x ) = 2 2 4 3 3

x − x − x + 2x x (2 − x) 2 − x

12

2 . Sono state trovate due curve lungo cui la rispettiva

Se x → 0 la f (x, x − x ) tende a

restrizione di f ha limite diverso. Questo è sufficiente per dire che

lim f (x, y)

(x,y)→(0,0)

non esiste, di conseguenza la f è continua in tutto il suo dominio ad eccezione del punto

(0, 0).

Teorema del confronto

Il Teorema del confronto è un teorema molto usato nel calcolo di limiti di funzioni in più variabili.

2

Si considerino due funzioni f (x, y) e g(x, y) definite in un intorno di (x , y ) ∈ R . Supponiamo

0 0

che

1. 0 ≤ |f (x, y)| ≤ g(x, y) ∀(x, y) in un intorno di (x , y )

0 0

2. lim g(x, y) = 0

(x,y)→(x ,y )

0 0

Teorema: se le ipotesi 1. e 2. sono soddisfatte, allora

lim f (x, y) = 0

(x,y)→(x ,y )

0 0

Questo teorema, cosı̀ scritto, vale per funzioni in due variabili. Ma sostituendo il vettore (x, y)

n

con un generico vettore x, e sostituendo al posto di (x , y ) un generico punto x ∈ R , si ottiene

0 0 0

la generalizzazione per funzioni in n variabili.

Esempio: Calcolare 2

x y

lim 2 2

x + y

(x,y)→(0,0)

Conviene passare in coordinate polari, ovvero operare la seguente trasformazione

½ x = ρ cos(θ) , con ρ ∈ [0, +∞[, θ ∈ [0, 2π]

y = ρ sin(θ)

p 2 2

Si osserva che ρ = x + y , pertanto se (x, y) → (0, 0), allora ρ → 0. L’argomento del limite,

scritto in coordinate polari, vale

2 2

ρ cos (θ)ρ sin(θ) 2

= ρ cos (θ) sin(θ)

2

ρ

Dato che seno e coseno sono funzioni limitate fra −1 e 1, allora

2

| cos (θ) sin(θ)| ≤ 1 ∀θ ∈ [0, 2π]

quindi 2

0 ≤ |ρ cos (θ) sin(θ)| ≤ |ρ|

6

Ma se ρ → 0, allora |ρ| → 0, pertanto, per il teorema del confronto, si può affermare che

2

x y

lim =0

2 2

x + y

(x,y)→(0,0)

Esempio (coordinate polari traslate): Calcolare 2

x − 2x + 1

p

lim 2 2

(x − 1) + (y + 2)

(x,y)→(1,−2) 00

Il limite si presenta sotto la forma indeterminata . Conviene passari in coordinate polari centrate

nel punto (1, −2), attraverso la trasformazione

½ x − 1 = ρ cos(θ) , con ρ ∈ [0, +∞[, θ ∈ [0, 2π]

y + 2 = ρ sin(θ)

p 2 2

da cui si deduce che ρ = (x − 1) + (y + 2) , dunque, se (x, y) → (1, −2) allora ρ → 0.

L’argomento del limite equivale a

2 2 2 2

x − 2x + 1 (x − 1) ρ cos (θ) 2

p = = = ρ cos (θ)

2 2

(x − 1) + (y + 2) ρ

2 2

(x − 1) + (y + 2)

Dato che 2

0 ≤ |ρ cos (θ)| ≤ ρ

poiché 2

cos (θ) ≤ 1 ∀θ ∈ [0, 2π]

allora il limite vale zero per il teorema del confronto.

Proposizione: in generale, dato l ∈ R, supponiamo che esista un R > 0 tale che

1. |f (x + ρ cos(θ), y + ρ sin(θ)) − l| ≤ ϕ(ρ) ∀θ ∈ [0, 2π], ∀ρ ≤ R

0 0

2. lim ϕ(ρ) = 0

ρ→0

allora lim f (x, y) = l

(x,y)→(x ,y )

0 0

2

x y

Esempio: Calcolare, se esiste, lim (x,y)→(0,0) 4 2

x +y

Proviamo, in prima battuta, a passare in coordinate polari, ponendo,

½ p

x = ρ cos(θ) 2 2

, ρ = x + y

y = ρ sin(θ)

3 2 2

2 ρ cos (θ) sin(θ) ρ cos (θ) sin(θ)

x y = =

2 2

4 2

x + y 4 4 2 2 4

ρ cos (θ)ρ sin (θ) ρ cos (θ) + sin (θ)

strada non percorribile a causa del denominatore troppo complicato.

Proviamo allora a studiare gli insiemi di livello di f (x, y). Fissato l ∈ R, risulta

2

x y 2 4 2 2 4 2

f (x, y) = l =⇒ = l =⇒ x y = l(x y ) =⇒ x y = lx + ly =⇒

4 2

x + y √

2 4 2 4

x ± x − 4l x

2 2 4

=⇒ ly − x y + lx = 0 =⇒ y = =⇒

2l

7 p

2 4 2

x ± x (1 − 4l )

=⇒ y = 2l

1 12

Poiché se ∆ < 0, ovvero se l < − ∨ l > , l’equazione non ha valori reali, si nota che la funzione

£ ¤

2

12 12 12 12

e , dunque l ∈ − , . L’insieme di livello relativo al valore

assume valori compresi fra −

12 1 2

generico l (− ≤ l ≤ ), ha equazione (raccogliendo x )

2 Ã !

√ 2

1 ± 1 − 4l 2

y = x

2l

e, al variare di l, denota un insieme di parabole passanti per l’origine. Pertanto la funzione è

costante sulle parabole passanti per l’origine aventi questa equazione.

Figura 3: Insiemi di livello della funzione

Considerando la parabola (passante per l’origine) di equazione

q

 

¡ ¢

2

14

1 + 1 − 4 1

  2

= l

y x ovvero per =

14 4

2 · 14 . Per-

si trova l’equazione dell’insieme di livello in cui la funzione assume costantemente il valore

1

tanto, il limite per (x, y) → (0, 0) della restrizione della f a questa parabola fa . Considerando

4

8