di L'insieme Z
L'insieme Z è un insieme in cui è possibile costruire sempre il precedente e successivo di un elemento generico.
Quindi in Z è definita una relazione di ordine stretto e la sua inversa.
Si possono utilizzare le cifre numeriche per rappresentare gli elementi di Z, scrivendo:
[math]\mathbb{Z}=\left \{ 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3..... \right \}[/math]
[math]\mathbb{Z}=\left\{…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…… \right \}[/math]
Nota
Chiameremo valore assoluto di un numero intero una funzione[math]\left | \, \, \right |:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}[/math]
Così definita:
[math]\forall \, z\in \mathbb{Z}[/math]
[math]\left | z \right |=\left\{\begin{matrix}
0 & se\, z=0\\
z & se\, z\,\, è\,\, successivo\, a\, 0\, (z> 0)\\
-z & se\, z\,\, è\,\, precedente\, a\, 0\, (z< 0)
\end{matrix}\right.[/math]
0 & se\, z=0\\
z & se\, z\,\, è\,\, successivo\, a\, 0\, (z> 0)\\
-z & se\, z\,\, è\,\, precedente\, a\, 0\, (z< 0)
\end{matrix}\right.[/math]
Dove la notazione -z esprime il numero successivo a zero di tanti posti quanti sono quelli tra z e zero, quando z è precedente a zero.
Operazioni aritmetiche in Z:somma,prodotto
[math]\forall a,b\in \mathbb{Z}[/math]
[math]a+b= [/math]
si ricorre a somma e differenza in
[math]\mathbb{N}[/math]
.quindi si effettua una operazione di conteggio in
[math]\mathbb{Z}[/math]
[math]a\cdot b=\left\{\begin{matrix}
se\, a>0\, e\, b>0 & a\cdot b=a_{N}\cdot b_{N}\\
se\, a<0\, e\, b>0 & a\cdot b=-\left | a \right |\cdot b=((-a_{N})\cdot b_{N})\\
se\, a>0\, e\, b<0 & a\cdot b=-a\cdot \left | b \right |=(a_{N}\cdot (-b_{N}))\\
se\, a<0\, e\, b<0 & a\cdot b=\left | a \right |\cdot \left | b \right |=((-a_{N})\cdot (-b_{N}))
\end{matrix}\right.[/math]
se\, a>0\, e\, b>0 & a\cdot b=a_{N}\cdot b_{N}\\
se\, a<0\, e\, b>0 & a\cdot b=-\left | a \right |\cdot b=((-a_{N})\cdot b_{N})\\
se\, a>0\, e\, b<0 & a\cdot b=-a\cdot \left | b \right |=(a_{N}\cdot (-b_{N}))\\
se\, a<0\, e\, b<0 & a\cdot b=\left | a \right |\cdot \left | b \right |=((-a_{N})\cdot (-b_{N}))
\end{matrix}\right.[/math]
