I logaritmi

U

 

e e e

3 5

99 3 99 5 99

Da cui si ricava:

   

2 log 5 log 2 2 log 7 2

U

e e e

 

2 log 5 log 2 2

U

    

e e

log 7 log 5 0

,

5 log 2 U

e e e

2 log 11

Per esempio per calcolare il possiamo fare così.

e

1 1 1

      

log 121 log 120 2

( ...) log 120 2

U

 

e e e

3 5

241 3 241 5 241

Da cui si ricava:

   

2 log 11 log 5 log 3 3 log 2 2

U

e e e e

  

log 5 log 3 3 log 2 2

U

 e e e

log 11

e 2 di “tutti” gli

In modo analogo si possono ricavare i logaritmi altri numeri primi. 32/97

Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi

Metodo delle tangenti - iterazione di Newton

Tralasciando la teoria che, almeno in parte, potrete trovare in appendice vediamo come sia possibile

naturali (in base “ “),

e

utilizzare questo metodo per effettuare il calcolo dei logaritmi dei numeri

reali. Per ottenere gli equivalenti logaritmi decimali si deve usare la relazione vista precedentemente

log x

    

e

e cioè .

log x log e log x M log x

10 10 e e

log 10

e

Questo metodo può essere utilizzato sempre e comunque ma, da il meglio di se, quando il valore

iniziale è abbastanza vicino al valore del logaritmo del numero cercato, altrimenti possono essere

necessarie molte iterazioni per arrivare ad un valore accettabile. In genere, questo metodo, viene

utilizzato per affinare un valore trovato utilizzando altri metodi.

E’ possibile dimostrare che reiterando questo calcolo ci si avvicina, sempre di più, al valore del

logaritmo del numero cercato. Non dobbiamo dimenticare una proprietà importante di questo

metodo e cioè che questo è un metodo che si autocorregge. Questo significa che, nel caso venga

introdotto un piccolo errore durante una fase del calcolo, le iterazioni successive faranno

ugualmente convergere il risultato al valore del logaritmo del numero cercato.

Formula da utilizzare per il calcolo dei logaritmi dei numeri



x

e y

0

 

x x

1 0 x

e 0

Questa formula può essere trasformata, con semplici passaggi, in:

y

  

x x 1

1 0 x

e 0

o anche in: 

    x

x x 1 y e 0

1 0

Dove con:

= valore approssimato di partenza della nostra funzione.

x 0 = valore approssimato, un poco migliore rispetto a , della nostra funzione.

x

x 0

1 = valore del numero di cui cerchiamo il logaritmo naturale.

y = base dei logaritmi naturali (2,71828182845904523536…).

e

Ovviamente tutte e tre le formule sono equivalenti ma, nel caso sia necessario calcolare migliaia (se

non anche milioni) di cifre decimali, la formula che permette di ridurre al minimo il tempo di



    x

esecuzione dei vari calcoli è la . Non spiegherò il motivo di questa affermazione

x x 1 y e 0

1 0

perché questo argomento esula da questo scritto.

Facciamo immediatamente alcuni esempi in modo da chiarire come si deve procedere per utilizzare

questo metodo.

Esempio

Calcoliamo il logaritmo in base “ ” del numero 5 cioè

e il log 5

e

= 1,60943791…

log 5

Premetto immediatamente che il e  

1 2

log 5

Il valore del è sicuramente compreso tra 1 ( ) e 2 ( ) e utilizzeremo, come

e 2

,

72 e 7

,

39

e 

x 2

valore iniziale, il valore di 2 cioè 0 y

  

x x 1

Per questo esempio utilizzero la formula .

1 0 x

e 0

5 5

     

x 2 1 1 1

,

67

1 2 7

,

39

e 33/97

Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi

5 5

     

x 1

,

67 1 0

,

67 1

,

6116

2 1

, 67 5

,

31

e 5 5

     

x 1

,

6116 1 0

,

6116 1

,

6094403

3 1

, 6116 5

,

0108221

e 5 5

     

x 1

,

6094403 1 0

,

6094403 1

,

6094379

4 1

, 6094403 5

,

0000119

e 5 5

     

x 1

,

6094379 1 0

,

6094379 1

,

6094379

5 1

, 6094379 5

e

Poiché i valori di e di coincidono, questo è il valore cercato. Com’è possibile vedere con

x

x 5

4

cinque iterazioni siamo pervenuti a un valore corretto sino al 7° decimale.

Esempio

Calcoliamo il logaritmo in base “ ” del numero 31 cioè il

e log 31

e

= 3,43398720…

Premetto immediatamente che il log 31

e  

3 4

Il valore del è sicuramente compreso tra 3 ( ) e 4 ( ) e utilizzeremo,

log 31 e 20

,

08 e 54

,

60

e 

come valore iniziale, il valore di 3 cioè x 3

0 

    x

Per questo esempio utilizzero la formula .

x x 1 y e 0

1 0



       

3

x 3 1 31 e 2 31 0

,

045 3

,

395

1 

       

3

, 395

x 3

,

395 1 31 e 2

,

395 31 0

,

03354 3

, 43474

2 

       

3

, 43474

x 3

, 43474 1 31 e 2

, 43474 31 0

,

0322338 3

, 4339875

3 

       

3

, 4339875

x 3

, 4339875 1 31 e 2

, 4339875 31 0

,

0322581 3

, 4339872

4

Poiché i valori di e di praticamente coincidono, questo è il valore cercato. Com’è possibile

x x

3 4

vedere con quattro iterazioni siamo pervenuti a un valore corretto sino al 7° decimale.

Esempio

Calcoliamo il logaritmo in base “ ” del numero 103,3 cioè

e il log 103

,

3

e

= 4,63763737…

Premetto immediatamente che il log 103

,

3

e  

4 5

Il valore del è sicuramente compreso tra 4 ( ) e 5 ( ) e utilizzeremo,

log 103

,

3 e 54

,

60 e 148

, 41

e 

come valore iniziale, il valore di 4 cioè x 4

0 

    x

Per questo esempio utilizzero la formula .

x x 1 y e 0

1 0



       

4

x 4 1 103

,

3 e 3 103

,

3 0

,

0183 4

,

89039

1 

       

4 , 89039

x 4

,

89039 1 103

,

3 e 3

,

89039 103

,

3 0

,

00752 4

,

6672

2 

       

4 , 6672

x 4

,

6672 1 103

,

3 e 3

,

6672 103

,

3 0

,

0093985 4

,

6380701

3 

       

4 , 6380701

x 4

,

6380701 1 103

,

3 e 3

,

6380701 103

,

3 0

,

0093985 4

,

6376375

4 

       

4 , 6376375

x 4

,

6376375 1 103

,

3 e 3

,

6376375 103

,

3 0

,

0096805 4

,

6376374

5 x

x

Poiché i valori di e di praticamente coincidono, questo è il valore cercato. Com’è possibile

5

4

vedere con cinque iterazioni siamo pervenuti a un valore corretto sino al 7° decimale.

Commento sul metodo

Com’è possibile vedere questo metodo è veramente potente, però ha un difetto, poiché è necessario

eseguire il calcolo esponenziale con molta precisione. Comunque, come abbiamo visto nel capitolo

precedente, il calcolo esponenziale non è un calcolo eccessivamente complesso. 34/97

Veracini Veriano - Calcolo dei Logaritmi

Metodi di calcolo dei logaritmi sui numeri decimali

Per utilizzare i logaritmi nei calcoli pratici è necessario saperli calcolare anche sui numeri decimali

e non solo sui numeri naturali. Ovviamente tutti i metodi precedentemente illustrati si possono

applicare anche a questa tipologia di calcolo. Indipendentemente da questo fatto sono stati elaborati

alcuni metodi specifici per eseguire questa tipologia di calcolo. Tutti questi nuovi metodi sono

utilizzabili indipendentemente dalla base del logaritmo.

Vediamo ora quattro metodi specifici per questa tipologia di calcolo.

1) Metodo attraverso i numeri interi

Questo metodo è il più ovvio e consiste nel rendere intero il numero decimale moltiplicandolo per

n poi, di questo nuovo numero, è necessario calcolare il logaritmo e, come ultimo passaggio,

10 n

bisogna sottrarre, al logaritmo calcolato precedentemente, il logaritmo di . L’esattezza del

10

risultato dipenderà, ovviamente, dalla precisione del logaritmo calcolato. Facciamo due esempi.

Esempio

Calcoliamo il logaritmo naturale del numero 31,3 cioè il .

log 31

,

3

e

Premetto immediatamente che il = 3,4436181.

log 31

,

3

e

313     



Poiché allora il .

log 31

,

3 log 313 log 10 5

,

7462032 2

,

3025851 3

, 4436181

31

,

3 e e e

10

Esempio

Calcoliamo il logaritmo decimale del numero 3,13 cioè il .

log 3

,

13

10

Premetto immediatamente che il = 0,4955443.

log 3

,

13

10

313     



Poiché allora il .

log 3

,

13 log 313 log 100 2

, 4955443 2 0

, 4955443

3

,

13 10 10 10

100 –

2) Metodo d’interpolazione lineare Principio di proporzionalità

utilizzato quando erano in uso le “Tavole ed era necessario

Questo metodo era logaritmiche”

calcolare il logaritmo di un numero decimale che non era presente in esse. Questo metodo parte da

“l’incremento del valore del logaritmo all’incremento del numero”

un assunto che è proporzionale

ma quest’assunto è falso. Il risultato che si ottiene è un valore sempre inferiore a quello vero,

comunque più il numero è grande e più il risultato si avvicinerà al valore vero. Facciamo tre esempi.

Esempio

Calcoliamo il logaritmo naturale del numero 31,3 cioè il .

log 31

,

3

e

Premetto immediatamente che il = 3,4436181.

log 31

,

3

e 

“Tavole logaritmiche” potevamo leggere che il

Nelle .

log 31 3

, 4339872

e 

“Tavole logaritmiche” potevamo leggere che il

Nelle .

log 32 3

, 4657359