I GRUPPI DI LIE

Oggi analizzeremo i gruppi di Lie. Ricordiamo che un gruppo di Lie è una varietà differenziabile(nella forma più accessibile, il lettore può pensare a una superficie differenziabile, liscia, senza pieghe o patologie strane, come la superficie di una sfera, una spirale oppure una ciambella) i cui elementi, inoltre, formano un gruppo le cui operazioni sono pure differenziabili.

La Matematica presenta molti esempi che definiamo come gruppi di Lie "normali". Uno molto semplice è dato dalla circonferenza, che definiremo come quella di raggio

[math]1[/math]
, perché ogni altro gruppo di raggio
[math]r[/math]
è a esso isomorfo.

Pensiamo al sottoinsieme dei numeri complessi

[math]\mathbb{C}[/math]
formato da quelli di modulo
[math]1[/math]
, cioè, di longitudine
[math]1[/math]
, che soddisfano
[math]|z|=1[/math]
(ricordiamo che se
[math]z=x+iy[/math]
, il modulo di
[math]z[/math]
, che è di solito indicato come
[math]|z|[/math]
, è il numero
[math]|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/math]
.

Chiamiamo

[math]S^{1}[/math]
questo insieme di punti, che non è altro che la circonferenza di raggio unitario


[math]S^{1}=\{z|z \in \mathbb{C},|z|=1\}[/math]
.


Si trova che

[math]S^{1}[/math]
è anche un gruppo con l'operazione di moltiplicazione. In effetti, l'operazione è interna, perché, per qualunque numero complesso,
[math]|z_{1}|·|z_{2}|=|z_{1}·z_{2}|[/math]
e, pertanto, se i due complessi
[math]z_{1}[/math]
e
[math]z_{2}[/math]
hanno modulo o longitudine
[math]1[/math]
, lo stesso vale per il loro prodotto.

Dimostriamo che

[math]|z_{1}|·|z_{2}|=|z_{1}·z_{2}|[/math]
, e scriviamo nell'espressione
[math]z_{1}=a+ib[/math]
e
[math]z_{2}=c+id[/math]
.


[math]|z_{1}|·|z_{2}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}·\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=\\
=\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}}=\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd+2abcd}=\\
=\sqrt{(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=|(a+ib)(c+id)|=|z_{1}·z_{2}|[/math]


Se

[math]z=x+iy[/math]
, si ottiene, dopo un certo numero di passaggi aritmetici, che


[math]\frac{1}{z}=x^{-1}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}i[/math]


ed è semplicemente dimostrare che


[math]z^{-1}=\frac{1}{z} \in S^{1}[/math]
.


Con semplici operazioni di aritmetica elementare, dimostriamo che


[math]|z^{-1}|=|\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}i|=\sqrt{\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}i}=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1[/math]


Le altre condizioni di gruppo sono facili da verificare. L'elemento neutro è il numero

[math]1(1=1+i0)[/math]
. In questo modo se moltiplichiamo due numeri complessi,
[math]z[/math]
e
[math]w[/math]
, di modulo
[math]1[/math]
, il risultato è un altro numero complesso,
[math]zw[/math]
, sempre di modulo
[math]1[/math]
.



Quando si moltiplicano due punti della circonferenza, si ottiene un altro punto della circonferenza.

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