Gruppi di Lie

Oggi analizzeremo i gruppi di Lie. Ricordiamo che un gruppo di Lie è una varietà differenziabile(nella forma più accessibile, il lettore può pensare a una superficie differenziabile, liscia, senza pieghe o patologie strane, come la superficie di una sfera, una spirale oppure una ciambella) i cui elementi, inoltre, formano un gruppo le cui operazioni sono pure differenziabili.

La Matematica presenta molti esempi che definiamo come gruppi di Lie "normali". Uno molto semplice è dato dalla circonferenza, che definiremo come quella di raggio

, perché ogni altro gruppo di raggio

è a esso isomorfo.

Pensiamo al sottoinsieme dei numeri complessi

formato da quelli di modulo

, cioè, di longitudine

, che soddisfano

(ricordiamo che se

, il modulo di

, che è di solito indicato come

, è il numero

.

Chiamiamo

questo insieme di punti, che non è altro che la circonferenza di raggio unitario

.

Si trova che

è anche un gruppo con l'operazione di moltiplicazione. In effetti, l'operazione è interna, perché, per qualunque numero complesso,

e, pertanto, se i due complessi

e

hanno modulo o longitudine

, lo stesso vale per il loro prodotto.

Dimostriamo che

, e scriviamo nell'espressione

e

.

Se

, si ottiene, dopo un certo numero di passaggi aritmetici, che

ed è semplicemente dimostrare che

.

Con semplici operazioni di aritmetica elementare, dimostriamo che

Le altre condizioni di gruppo sono facili da verificare. L'elemento neutro è il numero

. In questo modo se moltiplichiamo due numeri complessi,

e

, di modulo

, il risultato è un altro numero complesso,

, sempre di modulo

.

Quando si moltiplicano due punti della circonferenza, si ottiene un altro punto della circonferenza.