Grafico funzione logaritmica

In questo appunto, ci occuperemo della funzione logaritmica e delle sue proprietà. In quanto funzione, ne osserveremo tutte le proprietà tipiche delle funzioni, distinguendo i casi a seconda del valore della base del logaritmo.

La funzione logaritmica

Quando parliamo di funzione logaritmica ci riferiamo alla funzione:

La base del logaritmo è fissata, mentre l’argomento è variabile e coincide proprio con l’argomento della funzione.

A seconda del valore della base, distinguiamo due casi: il logaritmo con base compresa strettamente tra 0 e 1 e quello con base strettamente maggiore di 1.
È noto, infatti, che la base del logaritmo deve essere sempre un numero positivo ma diverso da 1. Non avrebbe senso, infatti, prendere in considerazione un logaritmo con base uguale ad 1.

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi vedi anche qua

La funzione y = log_a x, con a > 1

Analizziamo, in questo paragrafo, l’aspetto e le proprietà della funzione logaritmica quando il valore della base è strettamente maggiore di 1.

Quando la base è maggiore di 1, la funzione logaritmo è una funzione crescente

A titolo di esempio, possiamo provare a tracciare un grafico orientativo della funzione

, cercando alcuni punti per cui deve passare il grafico di tale funzione. Per far ciò, assegniamo alcuni valori alla variabile indipendente x e annotiamo i corrispondenti valori della variabile dipendente y. Osserviamo che i valori da assegnare alla variabile x sono da ricercare all’interno del campo di esistenza della funzione, che è

.

• Se scegliamo
  [math]x = 1[/math]
  , dobbiamo calcolare il logaritmo in base 2 di 1 che, come si sa, è pari a zero. Il primo punto per cui passa la nostra funzione è
  [math] A = (1, 0) [/math]
• Se scegliamo
  [math] x=2[/math]
  , dobbiamo calcolare il logaritmo in base 2 di 2. Visto che
  [math] 2^1=2 [/math]
  allora
  [math] y=1 [/math]
  , per cui la funzione passa anche per il punto
  [math] B = (2, 1) [/math]
• Scegliendo
  [math] x = 8[/math]
  , occorrerà calcolare
  [math] log_2 8 = 3 [/math]
  , per cui il grafico passa anche per il punto
  [math] C = (8, 3) [/math]
• Consideriamo, infine,
  [math] x = \frac {1}{4} [/math]
  . In questo caso,
  [math] log_2 \frac{1}{4} = -2 [/math]
  . La funzione logaritmica in esame passa dunque anche per
  [math] D = ( \frac {1}{4}, -2) [/math]

La funzione logaritmica

, con

gode delle seguenti proprietà:

• il suo dominio è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di zero;
• il suo codominio è tutto l’insieme dei numeri reali;
• è monotona e crescente in tutto il suo dominio;
• interseca l’asse delle ascisse nel punto di coordinate
  [math] P = (1,0) [/math]
  , per cui
  [math]x=1[/math]
  risulta essere uno zero della funzione;
• è positiva per
  [math] x > 1 [/math]
  ;
• è negativa per
  [math] 0 > x > 1 [/math]
  .

La funzione y = log_a x, con 0 Qui analizziamo l’aspetto e le proprietà della funzione logaritmica quando il valore della sua base è minore di 1.

A differenza del caso precedente, quando la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, la funzione risulta essere decrescente.
In analogia con il caso precedente, possiamo abbozzare un disegno del suo grafico, scegliendo – a titolo di esempio – la funzione

.
Anche in questo caso, scegliamo alcuni valori da assegnare alla variabile x, facendo attenzione a rimanere sempre all’interno del dominio della funzione, che è

.

• per
  [math] x = 1 [/math]
  , si ha
  [math]y = log_{\frac{1}{2}} 1 = 0 [/math]
  , per cui la funzione passa per
  [math] A = (1,0) [/math]
  ;
• per
  [math] x = 2 [/math]
  , si ha
  [math]y = log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 [/math]
  , quindi la funzione passa per
  [math] B = (2, -1) [/math]
  ;
• per
  [math] x = 4 [/math]
  , si ha
  [math]y = log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 [/math]
  , dunque la funzione passa per il punto
  [math] C = (4, -2) [/math]
  ;

Ottenute queste informazioni, possiamo tracciare un grafico orientativo della funzione, dal quale possiamo estrapolare alcune importanti osservazioni.
La funzione logaritmica

, con

gode delle seguenti proprietà:

• il suo dominio è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di zero;
• il suo codominio è l’insieme dei numeri reali;
• è monotona decrescente in tutto il dominio;
• interseca l’asse delle ascisse nel punto
  [math] P (1,0) [/math]
  , per cui
  [math] x = 1 [/math]
  risulta essere uno zero della funzione;
• è positiva per
  [math] 0 > x > 1 [/math]
  ;
• è negativa per
  [math] x > 1 [/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti su come disegnare la funzione logaritmica vedi anche qua