Determinare per quale valore reale di
[math]a[/math]
il piano tangente al grafico dellafunzione[math] f(x;y) = x^2 + axy^2 [/math]
nel punto[math] (1;2;f(1;2)) [/math]
parallelo alla retta dequazione[math] x + z = 2y = y z +1 [/math]
.La funzione
[math]f[/math]
definita, continua e differenziabile in [math]R^2[/math]
(questultima propriet le deriva dal fatto che le sue derivate parziali prime esistono continue in [math]R^2[/math]
), quindi in ogni punto [math] (x_0;y_0;f(x_0;y_0))[/math]
del suo grafico esiste il piano tangente e non parallelo allasse [math]z[/math]
.Il piano tangente al grafico nel punto assegnato ha equazione
[math] \displaystyle z f(1;2) = f'_x(1;2) \cdot (x 1) + f'_y(1;2) \cdot (y 2) [/math]
risulta
[math] f(1;2) = 1 + 4a [/math]
[math] f_x = 2x + ay^2 [/math]
[math] f_y = 2axy [/math]
[math] f_x(1;2) = 2 + 4a [/math]
[math] f_y(1;2) = 4a [/math]
quindi il piano richiesto ha equazione
[math] z (1 + 4a) = (2 + 4a) \cdot (x 1) + 4a \cdot (y 2) [/math]
da cui, in forma implicita
[math] (2 + 4a)x + 4ay z 8a 1 = 0 [/math]
.Il vettore
[math] \vec{n} = (2 + 4a; 4a; -1) [/math]
è ortogonale a tale piano.Si trovano subito le equazioni parametriche della retta data ponendo
[math]y = t[/math]
, da cui
[math] \displaystyle \begin{cases} x=-1+3t \\ y = t \\ z=1-t \end{cases} [/math]
Il vettore
[math] \vec{v} = (3; 1; -1) [/math]
uno di quelli che individuano la direzione della retta.Per il parallelismo richiesto occorre e basta che i vettori
[math] \vec{n} [/math]
e [math] \vec{v} [/math]
siano fra loro ortogonali, ossia che sia nullo il loro prodotto scalare.Risulta
[math] \vec{n}\cdot \vec{v} = 3(2 + 4a) + 1\cdot 4a - 1 \cdot (-1) = 16a + 7 [/math]
; deve risultare [math] 16a + 7 = 0 [/math]
da cui [math] a = -7/16 [/math]
.
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