Derivazione numerica

I.T.I.S. “P. Levi” Classe 4 In

Derivazione numerica

Posizione del problema.

Capita sovente che per risolvere dei problemi pratici, occorra calcolare la derivata, fino ad un certo ordine,

y=f(x)

d’una funzione data da una tabella.

Può anche succedere che l’espressione analitica di questa funzione renda difficile la sua derivazione

immediata.

Sono questi alcuni casi in cui si ricorre alla derivazione numerica o approssimata. y=f(x)

Le formule di derivazione numerica si ottengono sostituendo la funzione data sull’intervallo in

[a,b] P(x)

questione con una funzione di interpolazione , (generalmente con un polinomio) e ponendo poi:

f’(x) = P’(x)

per ogni x appartenente [a,b].

Le derivate d’ordine superiore della funzione f(x) si ottengono in modo analogo.

In generale, la derivazione approssimata è una operazione meno precisa dell’interpolazione.

Infatti la vicinanza delle ordinate di due curve: y=f(x) Y=P(x)

e

nell’intervallo [a,b], non garantisce la vicinanza, su

[a,b], delle loro derivate f’(x) e P’(x), cioè non ne

segue, senz’altro, un debole scarto dei coefficienti

angolari delle tangenti alle curve considerate, in

corrispondenza allo stesso valore della x

Marzo 2007 1

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FORMULE DI DERIVAZIONE NUMERICA BASATE SULLA

PRIMA FORMULA DI INTERPOLAZIONE DI NEWTON

y=f(x)

Sia una funzione della quale supponiamo di conoscere i valori che assume in (n+1) punti

x , x , x , .... x

equidistanti: dell’intervallo [a,b]; e cioè:

0 1 2 n

y =f(x ) y =f(x ) y =f(x ) ……………… y =f(x )

0 0 1 1 2 2 n n

y’=f’(x) y’’=f’’(x)

Per cercare su [a,b] le derivate , , ecc. approssimiamo la funzione y con il

polinomio d’interpolazione di Newton individuato dai punti dati.

Si ha: − − − − − − +

q ( q 1

) q ( q 1

)( q 2 ) q ( q 1

)( q 2 )....( q n 1

)

= + ∆ + ∆ + ∆ + + ∆

2 3 n

y ( x ) y q y y y ... y

0 0 0 0 0

2

! 3

! n

!

−

x x x

1

= = −

0 0

q x (q in funzione di x)

dove h h h

x - x = x – x = x – x = ………….. x – x = h

e 1 0 2 1 3 2 n n-1

Eseguendo i calcoli si ottiene: − − + − + −

2 3 2 4 3 2

q q q q q q q q q

3 2 6 11 6

= + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ +

2 3 4

y x y q y y y y

( ) .....

0 0 0 0 0

2

! 3

! 4

!

Adesso vogliamo calcolare la derivata prima di y(x) che però è una funzione composta poiché:

y=f(q) q=g(x)

e allora la funzione composta

y= F(x) = f[g(x)] y’(x)=f’[q(x)] . q’(x)

la cui derivata è: '

   

dy dy dq dy 1 x dy 1 dy 1

= = = − = − =

   

0

y ' ( x ) . . x . 0 .

risulta:    

dx dq dx dq h h dq h dq h

− − + − + −

 

2 3 2

1 2 q 1 3

q 6 q 2 4 q 18

q 22 q 6

= ∆ + ∆ + ∆ + ∆ +

2 3 4

y ' ( x ) y y y y ..........

....

ne segue  

0 0 0 0

 

h 2 6 24

Marzo 2007 2

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Ricordando che: se y=k f(x) allora y’=k f’(x)

si ottiene:  

− − +

 

2

1 1 2 6 q 6 6 q 18 q 11

= + ∆ + ∆ + ∆ + =

2 3 4

 

y ' ' ( x ) 0 y y y ..........

 

0 0 0

h h 2 6 12

 

 

− +

 

2

( )

1 6 q 18

q 11

= ∆ + − ∆ + ∆ +

2 3 4

y ' ' ( x ) y q 1 y y ..........

 

0 0 0

2  

h 12

e così via, per le derivate di ordine superiore. x , x , x ………

A volte occorre calcolare le derivate di y nei punti di interpolazione: 0 1 2

In questo caso le formule di derivazione diventano molto semplici. q=0

Ogni punto di interpolazione può essere considerato come iniziale

, e tenendo conto che , e le

formule appena viste per la derivata prima e derivata seconda diventano, rispettivamente:

∆ ∆ ∆ ∆

 

2 3 4 5

y y y y

1

= ∆ − + − + −

0 0 0 0

y ' ( x ) y ..........

..

 

0 0

h 2 3 4 5

 

 

1 11 5

= ∆ − ∆ + ∆ − ∆ +

2 3 4 5

y ' ' ( x ) y y y y .......... ..

 

0 0 0 0 0

2 12 6

h Marzo 2007 3