Definizioni
Integrale indefinito. Si chiama integrale indefinito della funzione
[math]f(x)[/math]
, e si indica con [math]\int f(x)\ dx[/math]
, l’insieme di tutte le primitive [math]F(x)+c[/math]
di [math]f(x)[/math]
, con [math]c[/math]
numero reale qualunque, dove [math]F'(x)=f(x)[/math]
.Integrale definito. Data una funzione
[math]f(x)[/math]
continua e positiva o nulla in [math][a,b][/math]
, si chiama integrale definito esteso all’intervallo [math][a,b][/math]
il valore comune, se esite, del limite per [math]n[/math]
che tende a più infinito delle due successioni
[math]S_n=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) M_i,\qquad s_n=\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) m_i[/math]
essendo
[math]a=x_0
derivabile in ogni suo punto interno, allora esiste almeno un punto
una partizione dell'intervallo
[math][a,b][/math]
e avendo indicato
[math]M_i=\max_{x\in[x_i,x_{i+1}]} f(x),\qquad m_i=\min_{x\in[x_i,x_{i+1}]}f(x)[/math]
Tale valore è scritto:
[math]\int_a^b f(x)\ dx[/math]
Teorema di Rolle. Data una funzione
[math]f(x)[/math]
continua nell’intervallo [math][a,b][/math]
e derivabile nei suoi punti interni, se [math]f(a)=f(b)[/math]
, allora esiste almeno un punto [math]c[/math]
interno all'intervallo, per il quale risulta [math]f'(c)= 0[/math]
Teorema di Lagrange. Se una funzione
[math]f(x)[/math]
è continua in un intervallo chiuso [math][a,b][/math]
ed è derivabile in ogni suo punto interno, allora esiste almeno un punto
[math]c[/math]
interno all’intervallo per cui vale la relazione:
[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)[/math]
Teorema di Cauchy. Se le funzioni
[math]f(x)[/math]
e [math]g(x)[/math]
sono continue nell’intervallo [math][a,b][/math]
, derivabili in ogni punto interno a questo intervallo, [math]g(a)\ne g(b)[/math]
e inoltre in [math]]a,b[[/math]
è sempre [math]g(x)\ne 0,\ g'(x)\ne 0[/math]
, allora esiste almeno un punto [math]c[/math]
interno a [math][a,b][/math]
in cui si ha:
[math]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}[/math]
Calcolo delle aree. Siano
[math]f(x)[/math]
e [math]g(x)[/math]
due funzioni definite nello stesso intervallo [math][a,b][/math]
, con [math]f(x)>g(x)[/math]
, per ogni [math]x\in[a,b][/math]
, i cui grafici racchiudano una superficie; allora l’area [math]S[/math]
della superficie è data da:
[math]S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\ dx[/math]
Derivata. Data una funzione
[math]y=f(x)[/math]
definita in un dominio [math]D[/math]
, si chiama derivata della funzione nel punto [math]x_0[/math]
interno al dominio il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di [math]f[/math]
relativo a [math]x_0[/math]
e si indica con [math]f'(x_0)[/math]
:
[math]f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/math]
. La derivata di una funzione in un punto
[math]x_0[/math]
rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto d’ascissa [math]x_0[/math]
.
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