Campi Vettoriali

Gianni Sammito: appunti di Analisi II

Campi vettoriali in Rⁿ

Un campo vettoriale è una funzione a valori vettoriali F: A → Rⁿ, con A ⊆ Rⁿ, dove in questo caso la dimensione del dominio e del codominio è la stessa.

F(x₁, x₂, . . . , x_n) = (f₁(x₁, x₂, . . . , x_n), f₂(x₁, x₂, . . . , x_n), . . . , f_n(x₁, x₂, . . . , x_n))

e ciascuna delle componenti è una funzione scalare f_i: A → R per i = 1, 2, . . . , n.

Consideriamo una curva γ ⊆ Rⁿ parametrizzata, e sia

r: [a, b] → γ: t 7→ (x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t))

con r ∈ C¹([a, b]), la sua parametrizzazione.

Come esempio si può pensare al caso n = 3 e a r(t) come legge oraria del moto di un punto materiale.

Il lavoro infinitesimo dL compiuto da F in un tratto infinitesimo di una curva è pari al prodotto scalare dℓ

dL = ⟨F, dℓ⟩,

pertanto il lavoro lungo γ è la somma dei lavori infinitesimi, ovvero

L = ∫_γ ⟨F, dℓ⟩.

Inoltre risulta dℓ = dr(t) = (d r(t)/dt)dt. Di conseguenza vale la seguente formula, da considerare come definizione di lavoro di F lungo γ:

L = ∫_γ ⟨F, dℓ⟩ = ∫_a^b ⟨F(r(t)), dr(t)/dt⟩dt.

Il vettore F(r(t)) ha queste componenti

F(r(t)) = (f₁(r(t)), f₂(r(t)), . . . , f_n(r(t)))

mentre le componenti di dr(t)/dt sono

dr(t)/dt = (x₁′(t), x₂′(t), . . . , x_n′(t)).

Quindi il lavoro di F lungo γ vale

L = ∫_a^b [f₁(r(t))x₁′(t) + . . . + f_n(r(t))x_n′(t)]dt = ∫_a^b ∑_k=1ⁿ f_k(r(t))x_k′(t)dt.

Esempio

Si consideri il campo vettoriale F: R² → R²: (x, y) 7→ (−y, x), calcolare il lavoro compiuto su γ, dove γ è la circonferenza di raggio unitario percorsa in senso orario.

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Gianni Sammito: appunti di Analisi II

Una possibile parametrizzazione di γ può essere una funzione r: [0, 2π] → γ così definita:

r(t) = t ∈ [0, 2π]

x(t) = cos(t)

y(t) = sin(t)

Dato che

F(r(t)) = (−sin(t), cos(t))

e che dr(t)/dt = (−sin(t), cos(t)),

allora il lavoro richiesto vale

L = ∫_γ ⟨F, dℓ⟩ = ∫₀^2π ⟨(−sin(t), cos(t)), (−sin(t), cos(t))⟩dt =

= ∫₀^2π (sin²(t) + cos²(t))dt = ∫₀^2π dt = 2π.

Invertiamo ora il senso di percorrenza di γ, ovvero consideriamo la parametrizzazione r: [0, 2π] → γ così definita:

r(t) = t ∈ [0, 2π]

x(t) = cos(−t)

y(t) = sin(−t)

In questo caso dr(t)/dt = (sin(−t), −cos(−t))

F(r(t)) = (−sin(−t), cos(−t)).

Di conseguenza il lavoro lungo γ vale

L = ∫₀^2π ⟨(−sin(−t), cos(−t)), (sin(−t), −cos(−t))⟩dt =

= ∫₀^2π (−sin²(−t) + cos²(−t))dt = −∫₀^2π dt = −2π.

In questo caso, cambiando il segno di percorrenza della curva γ, il lavoro compiuto da F ha cambiato segno.

Un’altra parametrizzazione

Esempio: consideriamo lo stesso campo vettoriale dell’esempio precedente e la stessa curva γ, ovvero la circonferenza di raggio unitario, percorsa in senso antiorario, ma consideriamo una diversa parametrizzazione, ovvero r: [0, π] → γ così definita:

r(t) = t ∈ [0, π]

x(t) = cos(2t)

y(t) = sin(2t)

In questo caso risulta dr(t)/dt = (−2sin(2t), 2cos(2t))

F(r(t)) = (−sin(2t), cos(2t))

pertanto il lavoro di F lungo γ vale

L = ∫₀^π ⟨(−sin(2t), cos(2t)), (−2sin(2t), 2cos(2t))⟩dt =

= ∫₀^π 2dt = 2π.