Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei residui

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Teoria dei residui e calcolo di integrali indefiniti T. Frizzi

Prendendo il modulo di A:

π π 1

1

∫ ∫

ϑ ϑ ϑ

= =

i

A i Re d R d

ϑ ϑ ϑ ϑ

+ + + +

i i i i

2 2 2 2

aR e b Re c aR e b Re c

0 0

Immaginiamo ora di far tendere R all’infinito. Si vede subito che il modulo di A tende a 0.

Graficamente quest’operazione allarga la semicirconferenza all’infinito. Ma il residuo

dell’integranda (analitica nel semipiano positivo, eccetto che nel polo) non dipende dalla curva Y.

Quindi: +∞ 1

( ) ( ) ∫

π = + = =

iK A B B dx

2 lim lim + +

2

ax bx c

→ +∞ → +∞

R R − ∞

Cioè il nostro integrale coincide, a parte una costante moltiplicativa, col residuo della funzione

integranda nel polo.

Se P(x) è un polinomio con radici distinte, si dimostra che il residuo di 1/P(x) relativo ad una radice

(polo) w vale: 1

=

K ( )

P ' w

Nel nostro caso: − − ∆

b

= +

w i

a a

2 2

( ) = +

P ' x 2 ax b

( ) = − + − ∆ + = − ∆

P ' w b i b i

In definitiva si ottiene: +∞ π π

i

1 2 2

∫ π

= = =

dx iK

2

+ +

2 − ∆ − ∆

ax bx c i

− ∞

Questa formula è molto semplice da utilizzare ed evita noiosi passaggi di sostituzione.

Se il polinomio al denominatore fosse di grado superiore al secondo (ma sempre con radici

complesse coniugate, quindi di grado pari) si può sempre applicare la formula:

1

=

K ( )

P ' w

+∞ 1 ∑

∫ π

=

dx 2 i K

( )

P x

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