Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed la seguente:
[math] x = r \cos(\theta) [/math]
[math] y = r \sin(\theta) [/math]
Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a 0, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a 0:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{e^{2 (r \cos(\theta))^2} - \cos(2(r \sin(\theta)))}{(r \\cos(\theta))^2 + (r \sin(\theta))^2} = [/math]
Procediamo calcolando i quadrati:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ e^{2 r^2 \cos^2( heta)} - \\cos(2r \\sin(\theta)) }{ r^2 \cos^2(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)} = [/math]
Al denominatore raccogliamo
[math]r^2[/math]
e riconosciamo la somma di coseno e seno al quadrato, che fa uno:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ e^{2 r^2 \\cos^2(\theta)} - \\cos(2r \\sin(\theta)) }{ r^2 } = [/math]
Ora, cercando di calcolare il limite, notiamo una forma indeterminata del tipo
[math]0/0[/math]
; possiamo risolvere questa situazione calcolando gli
sviluppi di Taylor delle funzioni presenti; poiché il centro dello sviluppo sarà 0, possiamo applicare le regole degli sviluppi fondamentali, che ricordiamo essere:
.
[math] \displaystyle e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + ... + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]
[math] \displaystyle \\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2} + \frac{z^4}{24} - ... + \frac{(-1)^n z^{2n}}{{2n}!} + o(z^{2n}) [/math]
Poiché il denominatore è un infinitesimo di secondo ordine, possiamo calcolare gli sviluppi del numeratore fermandoci al secondo ordine nel caso del coseno:
[math] \displaystyle \\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2} + o(z^2) [/math]
Applicando la sostituzione
[math]z = 2r \\sin(\theta)[/math]
si ha:
[math] \displaystyle \\cos(2r \\sin(\theta)) = 1 - \frac{(2r \\sin(\theta))^2}{2} + o(r^2) = 1 - 1/2 \cdot 4 r^2 \\sin^2(\theta) + o(r^2) = [/math]
[math] \displaystyle 1 - 2 r^2 \\sin^2(\theta) + o(r^2) [/math]
Nel caso del seno, avendo una sostituzione diversa, possiamo fermarci al primo ordine:
[math] e^z = 1 + z + o(z) [/math]
Sostituiamo
[math]z = 2r^2 \\cos^2(\theta)[/math]
:
[math] \displaystyle e^{2r^2 \\cos^2(\theta)} = 1 + 2r^2 \\cos^2(\theta) + o(r^2) [/math]
Possiamo ora sostituire queste espressioni all'interno del nostro limite:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ 1 + 2r^2 \\cos^2(\theta) + o(r^2) - [1 - 2 r^2 \\sin^2(\theta) + o(r^2)] }{ r^2 } = [/math]
Procediamo semplificando il numeratore:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ 1 + 2r^2 \\cos^2(\theta) + o(r^2) - 1 + 2 r^2 \\sin^2(\theta) + o(r^2) }{ r^2 } = [/math]
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ 2r^2 \\cos^2(\theta) + 2 r^2 \\sin^2(\theta) + o(r^2) }{ r^2 } = [/math]
Mettendo in evidenza il fattore
[math]2r^2[/math]
e riconoscendo la somma dei quadrati di seno e coseno, possiamo determinare il valore finale del limite:
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ 2r^2 (\\cos^2(\theta) + \\sin^2(\theta)) + o(r^2) }{ r^2 } = [/math]
[math] \displaystyle \lim_{ r \to 0 } \frac{ 2r^2 + o(r^2) }{ r^2 } = 2 [/math]
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