Il gradiente di una funzione (simbolo
[math]\nabla[/math]
) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.
La derivata parziale rispetto ad
[math]x[/math]
si ottiene considerando come variabile [math]x[/math]
, mentre si considera [math]y[/math]
come costante:
[math] \frac{df}{dx} (x,y) = \frac{d}{dx} ( \sqrt{x^2 + y^2} ) = \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x} { \sqrt{x^2 + y^2}} [/math]
Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad
[math]y[/math]
:
[math] \frac{df}{dy} (x,y) = \frac{d}{dy} ( \sqrt{x^2 + y^2} ) = \frac{2y}{2 \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y} { \sqrt{x^2 + y^2}} [/math]
Il gradiente della funzione
[math]f[/math]
dato quindi dalla seguente espressione:
[math] \nabla f(x,y) = ( \frac{x}{ \sqrt{x^2 + y^2}} , \frac{y}{ \sqrt{x^2 + y^2}) } [/math]
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