Appunti sui numeri complessi

ORMA RIGONOMETRICA

Dalla forma cartesiana deduciamo : ( )

ϕ ϕ

= ⋅ +

z z cos sen

che è la forma trigonometrica del numero complesso z. E' importante notare che l'argomento

π Z

∈

( ) ottenendo ancora lo stesso

delle funzioni seno e coseno può essere incrementato di 2k k

numero complesso. 4

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Consideriamo il piano complesso in figura. Il

( )

= ha argomento che dipende

complesso z a , 0

dal segno di a : ϕ π

> ↔ =

a 0 2 k

( )

ϕ π

< ↔ = +

a 0 2 k 1

I complessi di modulo unitario appartengono

alla circonferenza con centro nell'origine e raggio

unitario. Il complesso :

z ϕ ϕ

= +

cos i sen

z

è unitario. Figura 2

F E

ORMA SPONENZIALE

Eulero (Leonhard Euler) dedusse la fondamentale relazione :

= +

ix

e cos x i sen x

E' valida anche la relazione : − = −

ix

e cos x i sen x

Utilizzando tale formula otteniamo la rappresentazione esponenziale di un complesso :

ϕ

= ⋅ i

z z e

5. Operazioni razionali in C

D'ora in poi opereremo con i due numeri complessi :

( ) ( )

ϕ ϕ

= = + = ⋅ +

z a , b a ib z cos i sen

( ) ( )

θ θ

= = + = ⋅ +

v c , d c id v cos i sen

U

GUAGLIANZA

( ) ( )

Poiché e sono coppie ordinate, si ha :

a , b a , b ϕ θ π Z

= ↔ = ∧ = ↔ = ∧ = + ∈

z v a c b d z v 2 k , k

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A

DDIZIONE

( ) ( )

+ = + + +

z v a c i b d

E' immediato verificare che valgono le proprietà

commutativa e associativa.

Sul piano complesso, la somma z+v può essere

interpretata come somma di due vettori di

componenti cartesiane (a,b) e (c,d). Figura 3

M

OLTIPLICAZIONE

Dalla definizione già data si ottiene :

( ) ( )

⋅ = − + +

z v ac bd i ad bc

( ) ( )

ϕ θ ϕ θ

⋅ = ⋅ ⋅ + + +

⎡ ⎤

z v z v cos i sen

⎣ ⎦

Valgono le proprietà commutativa, associativa e distributiva rispetto all'addizione. Interpretiamo

l'operazione di addizione nel piano complesso. Consideriamo i complessi :

( )

ϕ ϕ

= ⋅ +

z z cos sen

v θ θ

= = +

*

v i unitario

cos sen complesso

v *

v vale :

Il prodotto di z per il complesso unitario ( ) ( )

ϕ θ ϕ θ

⋅ = ⋅ + + +

⎡ ⎤

*

z v z cos i sen

⎣ ⎦

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⋅ *

Il prodotto è quindi un complesso il cui punto rappresentativo sul piano di Gauss si ottiene

z v θ

ruotando il vettore posizione di z di un angolo (fig.4a)

Figura 4 π

θ

= =

Particolarmente importante è il caso . Essendo , si ha :

v i 2

π π

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ϕ ϕ

⋅ = ⋅ + + +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

cos sen

z i z i

⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

2 2

L'effetto della moltiplicazione di e è quello di far ruotare il vettore posizione di di una

z i z

π

θ =

angolo (fig.4b). Per questo motivo, in Meccanica, l'immaginario è chiamato "operatore

i

2

manovella". π

= −

2

Risulta quindi facile comprendere la relazione : ruotando il complesso di si

z

i 1 2

π ( )

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = −

2

ottiene che, ruotato a sua volta di diventa , simmetrico di rispetto

z i z i i i z z z

2

all'origine (fig.4b).

Esempio 2

Dati : π π

⎛ ⎞

= ⋅ +

⎜ ⎟

z 2 cos i sen

⎝ ⎠

6 6

π π

⎛ ⎞

= ⋅ +

⎜ ⎟

v 3 cos i sen

⎝ ⎠

2 2

si ha : ⎛ ⎞

π π π π

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 3

⋅ = ⋅ + + + = ⋅ − + = − +

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

z v 6 cos i sen 6 i 3 i 3 3

⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

6 2 6 2 2 2

⎝ ⎠

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R P

OTAZIONI NEL IANO

Consideriamo un punto del piano cartesiano, e associamo a il complesso :

P

P ( x , y ) ( ) ( )

ϕ ϕ

= + = ⋅ +

z z x iy z cos i sen

consideriamo inoltre il complesso unitario :

u α α

= + :

u cos i sen

= ⋅

w z u vale:

Il prodotto complesso ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α

= ⋅ = ⋅ + + + = ⋅ + + ⋅ ⋅ +

⎡ ⎤

w z u z cos i sen z cos i z sen

⎣ ⎦

Le parti reale e immaginaria di sono :

w

( ) ( )

ϕ α ϕ α ϕ α α α

⎧ = ⋅ + = ⋅ − = −

⎪ cos cos cos sen sen cos sen

X z z x y

⎨ ( ) ( )

ϕ α ϕ α ϕ α α α

= ⋅ + = ⋅ + = +

⎪⎩ sen sen cos cos sen sen cos

Y z z x y

α α

= −

⎧ cos sen

X x y

⎨ α α

= +

⎩ sen cos

Y x y

le due equazioni appena scritte costituiscono le equazioni della trasformazione che fa corrispondere

( ) α

Q X , Y

il punto , "ruotato" di un angolo rispetto a P.

al punto P ( x , y )

Esempio 3 π

Determiniamo la trasformazione che ruota i punti del piano cartesiano di .

3

Applicando le equazioni della trasformazione "rotazione" si ha :

⎧

π π

⎧ x 3

= − = −

⎪

X x cos y sen X y

⎪⎪ ⎪

3 3 2 2

→

⎨ ⎨

π π

⎪ ⎪ 3 y

= + = +

sen cos

Y x y Y x

⎪ ⎪

⎩ ⎩

3 3 2 2

D

IVISIONE ( ) ( )

= = −

il complesso . Nel piano complesso, z

Chiamiamo complesso coniugato di z a , b z a , b

z sono simmetrici rispetto all'asse reale. E' immediato verificare che :

e R

+ = ∈

z z 2 a

2 R

⋅ = ∈

z z z

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Ad ogni complesso si associa il reciproco : −

1 1 z z a ib

= ⋅ = = +

2 2 2

z z z a b

z

v ≠

Il quoziente ( ) è immediatamente definito :

z 0

z ( ) ( )

+ + −

− ac bd i ad bc

v 1 a ib

= ⋅ = ⋅ =

v v

+ +

2 2 2 2

z z a b a b

in forma trigonometrica : v

v ( ) ( )

ϕ θ ϕ θ

= ⎡ − + − ⎤

cos i sen

⎣ ⎦

z z

C

P R

OTENZE E ADICI IN

Osserviamo che : ( )

ϕ ϕ

⋅ = = +

2 2

z z z z cos 2 i sen 2

( )

ϕ ϕ

⋅ = = +

2 3 3

z z z z cos 3 i sen 3

( )

ϕ ϕ

= + ∈ N

n n

. z z cos n i sen n , n

L'ultima uguaglianza è nota come formula di De Moivre. Con essa si esprime in modo compatto

la potenza n-esima di un complesso. n

z n z

Se z è il complesso unitario, l'operazione equivale a rotazioni del complesso , ciascuna di

ϕ .

ampiezza ogni complesso z ha n radici n-esime in

Utilizziamo la formula di De Moivre per stabilire che

= n

z v

z v

C. Siano e due complessi tali che . Si ha:

( ) ( )

ϕ ϕ θ θ

+ = +

n

z cos i sen v cos n i sen n

⎧ = n

v z

⎧ n

=

⎪ ⎪

z v →

⎨ ⎨ ϕ π

2 k

ϕ θ π θ

= + = +

⎪ ⎪

⎩ n 2 k ⎩ n n

−

dove k è un intero. Diamo a k valori da 0 a :

n 1

ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞

θ

= → = = +

⎜ ⎟

n

k 0 ; v z cos i sen

1 1 ⎝ ⎠

n n n

ϕ π ϕ π ϕ π

+ + +

⎛ ⎞

2 2 2

θ

= → = = +

⎜ ⎟

n

k v z i

1 ; cos sen

2 2 ⎝ ⎠

n n n

....... ( ) ( ) ( )

ϕ π ϕ π ϕ π

+ − ⎛ + − + − ⎞

n n n

1 2 1 2 1 2

θ

= − → = = +

⎜ ⎟

n

k n v z i

1 ; cos sen

n n ⎝ ⎠

n n n

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= = +

Quando si ottiene la prima soluzione, per la seconda, e così via. Ne segue che

k n k n 1

l'equazione : = n

v z

in C ammette n soluzioni distinte o, in altri termini, il complesso z ha n radici n-esime in C. Tali

π

2 .

radici hanno ugual modulo e argomenti che differiscono per un multiplo di n

Sul piano complesso, le radici sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella

ρ = n .

circonferenza con centro nell'origine e raggio z

Figura 5

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Esempio 4 = 1

Le radici n-esime del complesso unitario z sono operatori di rotazione di ampiezza

rispettivamente : π π π π

2 2 2 2

( )

⋅ ⋅ −

0 ; ; 2 ; 3 ........... 1

n

n n n n

Il poligono rappresentativo ha un vertice nel punto (1;0) e, se è pari, un altro vertice in (-1;0).

n

Quindi per abbiamo 2 radici reali e ( -2) radici complesse, per , invece, si ha una

n pari n n dispari

-1) radici complesse:

radice reale e ( n Figura 6

6. La formula risolutiva delle equazioni di 3° grado

Vogliamo risolvere l'equazione di 3° grado :

+ + + =

3 2 0

x ax bx c

a

= −

Ponendo riduciamo l'equazione data alla sua :

forma normale

x y 3 + + =

3 0 (1)

y py q

dove : ⎧ 2

a

= − +

⎪⎪ p b

3

⎨

⎪ 2 1

= − +

3

q a ab c

⎪⎩ 27 3

a

= −

La formula è meno misteriosa di quanto possa sembrare.

x y 3 −

+ + =

1

n n

Data un'equazione di grado e primo coefficiente 1, , il coefficiente di

n a

x ax ...... 0

−

1

n è l'opposto della somma delle radici. Poiché le radici sono tre, /3 è il delle radici.

a baricentro

x 11

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Il cambio delle coordinate sarà la nuova somma delle radici, che deve essere zero, perché il nuovo

baricentro è l'origine. ≠ ≠

Torniamo all'equazione (1). Supponiamo 0 e 0 . Cerchiamo le soluzioni ponendo :

p q

= +

y u v

dove