Appunti sui numeri complessi

G. Valentini I numeri complessi www.matematico.it

Numeri complessi

G. Valentini

1. Introduzione

I primi che trattarono la questione dei numeri complessi furono i matematici greci. La domanda che si posero era: "esiste un numero che moltiplicato per se stesso dà -1?"

Non fu difficile per essi decidere che un numero del genere non esisteva, dato che il quadrato di una qualsiasi quantità deve essere sempre positiva. D'altro canto li sconcertava il fatto di avere equazioni che avevano soluzioni soltanto se si ammetteva la possibilità di estrarre la radice quadrata di -1.

Diofanto, matematico greco del II sec., fu uno dei primi matematici a riconoscere che l'insieme dei numeri reali è, in un certo senso, incompleto. Egli tentò di risolvere il problema, ragionevole in apparenza, di determinare i lati di un triangolo rettangolo avente perimetro 12 e area 7. Il problema porta all'equazione (scritta in termini moderni):

− + =

2

6 x 43 x 84 0

in cui x rappresenta la lunghezza di un lato del triangolo. Le soluzioni di questa equazione contengono la radice quadrata di -1. Diofanto chiuse il problema dichiarandolo impossibile.

Nel XVI secolo la questione riprese vigore. Alcuni algebristi italiani (Bombelli, Tartaglia, Cardano), notando che gli algoritmi risolutivi delle equazioni di 3° e 4° grado comportavano, a volte, la radice quadrata di quantità negative, risolsero la questione inventando un nuovo numero, il numero i, l'unità immaginaria. L'idea sviluppata nel Cinquecento è la seguente.

Consideriamo un'equazione di 3° grado: + + + =

3 2

y ay by c 0

a

= −

ponendo y x si ottiene l'equazione

3 + + =

3

x px q 0

Una delle tre soluzioni viene espressa da:

2 3 2 3

q q p q q p

= − + + + − − +

3 3 (1)

x

1 2 4 27 2 4 27

Fu Cardano (forse Tartaglia o Bombelli, la storia è controversa) a notare che la quantità

2 3

q p

+

4 27

x può non avere un significato reale.

può essere negativa e che, pertanto, 1

Esempio 1 − − =

3

x 6 x 4 0

L'equazione ha 3 radici reali: 1

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= − = + = −

x 2 ; x 1 3 ; x 1 3

1 2 3

Determiniamo una delle tre soluzioni applicando la formula (1):

= + − + − −

3 3 (2)

x 2 4 2 4

1

Cardano risolse il problema di estrarre la radice quadrata di -4 inventando il numero immaginario i, definendolo così: = −

i 1

in modo tale che: − = =

4 4

i 2

i

la (2) pertanto diventa: = + + −

3 3 (3)

x 2 2

i 2 2

i

1

osservando che: ( )

( ) ( )

3

− + = − + + + = − − + − = −

2 3

1 i 1 3

i 3

i i 1 3 3

i i 2 2

i

e che: ( ) 3

− − = +

1 i 2 2

i

la (3) diventa: ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

= − − + − + = − − − + = −

3 3

x 1 i 1 i 1 i 1 i 2

1

Ponendo: − + − −

1 i 3 1 i 3

= → =

2

j j

2 2

le rimanenti radici sono: ( ) ( )

= · − + + · − − = −

2

x j 1 i j 1 i 1 3

2 ( ) ( )

= · − + + · − − = +

2

x j 1 i j 1 i 1 3

3

Il metodo illustrato, anche se porta al risultato corretto, si presta a non poche critiche. In particolare risulta non coerente la: − = − =

2

1 i i

perché conduce a degli assurdi, per esempio:

( ) ( )

= = − · − = · = = −

2 2 2

1 1 1 1 i i i 1

Vedremo come è stata risolta la questione quando ci occuperemo della definizione di un nuovo insieme di numeri: l'insieme C dei numeri complessi.

2. Un po' di storia

I matematici del Rinascimento non ritenevano i numeri complessi dei veri numeri, ma li consideravano alla stregua di oggetti magici e fantastici, insomma un'escamotage utile per risolvere alcune questioni, nemmeno tanto importanti per loro. Venivano usati come strumenti di calcolo ma guardati con diffidenza, prova ne sia la terminologia usata: immaginari, complessi, quantità silvestri, il Bombelli usava per i il termine p.d.m (più di meno) e per -i m.d.m. (men di meno).

Tale disagio era dovuto al fatto che, all'epoca, era convinzione comune che la matematica, alla stregua delle altre scienze, non fosse un'invenzione dell'uomo ma, piuttosto, un'avvicinarsi al mondo reale (fisico) attraverso la costruzione di modelli, certamente astratti ma sempre legati a fatti concreti. Insomma, il matematico scopriva, non inventava!

Il matematico inglese John Wallis (1616-1703) fu uno dei primi a rendersi conto della vera natura della matematica. Egli asseriva che, sebbene si fosse pensato che la radice quadrata di un numero negativo implicava l'impossibile, la stessa cosa si sarebbe potuta dire di un numero negativo. Ecco il suo pensiero:

"si reputa che queste quantità immaginarie, nascenti dall'aver supposto la radice quadrata di -1, implichino la impossibilità del caso proposto. E così è infatti se ci si attiene alla prima e stretta nozione proposta: non è possibile che un numero, sia esso positivo o negativo, moltiplicato per se stesso possa dare, per esempio, -4, dal momento che segni del tipo + o - daranno sempre +, e quindi mai -. Ma allo stesso modo è impossibile che una quantità possa essere negativa. Non è possibile che una grandezza possa essere minore di niente o che un numero qualsiasi sia più piccolo di nessuno. Tuttavia tale ipotesi (sulle quantità negative) non è né inutile né assurda, se rettamente intesa. E sebbene la notazione algebrica comporti una quantità minore di niente, questa nelle sue applicazioni in fisica denota una quantità reale come se il suo segno fosse +, ma viene interpretata in senso contrario…".

Nel XIX sec., soprattutto ad opera di uno dei più grandi matematici della storia, K.F. Gauss, i numeri complessi acquisirono un indiscusso "diritto di cittadinanza" presso i matematici diventando, al di là dei limiti dell'algebra reale, indispensabile strumento di lavoro in moltissimi settori di ricerca.