Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Una variabile aleatoria discreta X assume i valori 1,2,3,4 e P(X=1) = P(X=2) = 1/4. Sapendo che E(X) = 21/8, trovare la densità discreta di X e Var(X)

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Il problema chiede di determinare la densità discreta di X e la sua varianza. Cominciamo dal primo punto, e ricordiamo che la densità discreta di X è una funzione

[math]p(x) = P(X = x)[/math]

Poiché il problema fornisce delle informazioni riguardo la speranza atematica di X, possiamo applicare la definizione di speranza per determinare le probabilità

[math]P(X=x)[/math]

per ogni valore assunto da X:

[math] E[X] = \sum_(j) x_j P(X=x_j)[/math]

Sostituiamo a tale formula tutti i possibili valori assunti dalla variabile aleatoria X, che vengono forniti dal problema:

[math] E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (21)/8[/math]

Due delle probabilità sono già fornite dal problema, e si ha che:

[math]P(X=1) = P(X=2) = 1/4[/math]

; sostituiamo tali valori nella precedente espressione:

[math] 1 \cdot 1/4 + 2 \cdot 1/4 + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (21)/8[/math]

[math] 1/4 + 1/2 + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (21)/8[/math]

[math] 3/4 + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (21)/8[/math]

[math] 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (21)/8 - 3/4[/math]

[math] 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) = (15)/8[/math]

Dalla definizione di probabilità, sappiamo che la somma di tutte le probabilità relative ad una determinata variabile deve essere uguale ad uno; quindi, possiamo imporre la seguente
condizione:

[math] P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1[/math]

Sostituendo i precedenti valori abbiamo:

[math] 1/4 + 1/4 + P(X=3) + P(X=4) = 1[/math]

[math] 1/2 + P(X=3) + P(X=4) = 1[/math]

[math] P(X=3) + P(X=4) = 1/2[/math]

[math] P(X=3) = 1/2 - P(X=4) [/math]

Possiamo mettere a sistema questa equazione con la precedente, e ricavare cos i valori delle probabilit cercati:

[math] 3 \cdot [1/2 - P(X=4)] + 4 \cdot P(X=4) = (15)/8[/math]

[math] 3/2 - 3 \cdot P(X=4) + 4 \cdot P(X=4) = (15)/8[/math]

[math] P(X=4) = (15)/8 - 3/2 = 3/8[/math]

Possiamo infine ricavare anche l'ultimo valore:

[math] P(X=3) = 1/2 - P(X=4) = 1/2 - 3/8 = 1/8[/math]

Passiamo ora al secondo punto, e determiniamo il valore della varianza di X; dalla definizione sappiamo che:

[math] Var(X) = E[X^2] - E[X]^2[/math]

Il secondo termine può essere determinato facilmente calcolando il quadrato della speranza matematica:

[math]E[X]^2 = [(21)/8]^2 = (441)/(64)[/math]

Per determinare il primo termine, ovvero

[math]E[X^2] [/math]

, possiamo utilizzare la seguente formula:

[math] E[X^k] = \sum_(j) (x_j)^k \cdot p(x_j) = \sum_(j) (x_j)^k \cdot p(X = x_j) [/math]

Applichiamo la formula precedente con

[math]k = 2[/math]

per tutti i valori che possono essere assunti dalla variabile aleatoria X:

[math] E[X^k] = \sum_(j) (x_j)^2 \cdot p(X = x_j) = 1^2 \cdot P(X=1) + [/math]

[math] 2^2 \cdot P(X=2) + 3^2 \cdot P(X=3) + 4^2 \cdot P(X=4) = [/math]

[math]1^2 \cdot 1/4 + 2^2 \cdot 1/4 + 3^2 \cdot 1/8 + 4^2 \cdot 3/8 = [/math]

[math] 1/4 + 1 + 9/8 + 6 =(67)/8 = 8,375 [/math]

Possiamo quindi calcolare il valore della varianza:

[math] Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = (67)/8 - (441)/(64) = (95)/(64) = 1,4844[/math]

Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Una variabile aleatoria discreta X assume i valori 1,2,3,4 e P(X=1) = P(X=2) = 1/4. Sapendo che E(X) = 21/8, trovare la densità discreta di X e Var(X)

Il problema chiede di determinare la densità discreta di X e la sua varianza. Cominciamo dal primo punto, e ricordiamo che la densità discreta di X è una funzione p(x) = P(X = x) . Poiché il problema fornisce delle informazioni riguardo la speranza ate

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