LA TEORIA DI GALOIS-SPIEGAZIONE DEL TEOREMA

Oggi analizzeremo la teoria di Galois, con la relativa spiegazione del teorema. Ricordiamo che il risultato fondamentale di Galois, ossia la sua teoria enuncia che:

Un'equazione è solubile se, e soltanto se, il suo gruppo di Galois è solubile, intendendo per equazione solubile quella che si può risolvere con operazioni elementari che coinvolgono i radicali.

La dimostrazione di questo bell'enunciato non è elementare e richiede cento pagine per essere seguita con calma e senza fatica; almeno questo è quanto costò a Emil Artin, grande Matematico e divulgatore, autore di un libro, Galois Theory, che ha seguito un'epoca.

Ci sono equazioni che hanno come gruppo di Galois il quinto dei gruppi simmetrici,

[math]S_{5}[/math]
; per vedere se è solubile occorre considerare prima i sottogruppi normali di
[math]S_{5}[/math]
, costituiti da niente meno che
[math]120[/math]
permutazioni. Scopriamo, dopo una lunga elaborazione, di poter costruire soltanto una serie di sottogruppi normali, come richiede la presunta solubilità di
[math]S_{5}[/math]
:


[math]\{n\} \subset A_{5} \subset S_{5}[/math]


e quando formiamo i gruppi quoziente richiesti,


[math]S_{5}/A_{5} \cong Z_{2}\\
A_{5}/\{n\} \cong A_{5}[/math]


si ha che, in maniera quasi perversa, non è abeliano. Pertanto, non esiste alcuna serie come quelle richieste dal teorema fondamentale, e quindi

[math]S_{5}[/math]
non è solubile, e di conseguenza non lo è neppure questa equazione di quinto grado. E quanto detto per
[math]n=5[/math]
vale per qualunque valore successivo di
[math]n[/math]
.

Anche se il testo di Artin è un classico, la cosiddetta teoria di Galois oggi è impostata in termini più astratti e generali, ed è dunque applicabile a molti altri campi più vasti rispetto alla semplice considerazione delle equazioni. Oggi non si richiede come presupposto di avere coefficienti razionali, e si lavora in un corpo

[math]K[/math]
qualunque, finito oppure no. E non si parla di espressioni inalterabili in seguito a una permutazione, ma di automorfismi
[math]α[/math]
di
[math]K'/K[/math]
, dove
[math]K'[/math]
è un'estensione di
[math]K \subset K'[/math]
:


[math]K' \longrightarrow^{a} K'[/math]
con
[math]α(x)=x[/math]
, per ogni
[math]x \in K[/math]

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