Sul calcolo della radice ennesima e sul reciproco della radice quadrata di un numero

Cristiano Teodoro

cristianoteodoro at virgilio.it

SUL CALCOLO DELLA RADICE ENNESIMA

E SUL RECIPROCO DELLA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO

In un articolo comparso recentemente su questo Sito [1] veniva esposto come calcolare tutte le radici sia reali che

complesse di una equazione algebrica di qualsiasi grado e avente coefficienti reali.

Un tipo particolare di equazioni di grado è quello che si presenta sotto la seguente forma:

n

−

n = 0 per cui risolvendola con l’algoritmo summenzionato si possono calcolare tutte le sue radici sia reali che

x a n

complesse.

Riguardo poi il tipo di valori ottenuti per tale equazione si rileva quanto segue:

- per un si hanno radici reali di valore opposto e radici che risultano complesse e coniugate

n pari 2 n - 2

a coppie ;

- per un si ha una sola radice reale ed radici complesse coniugate a coppie

n dispari n - 1

Per trovare il valore algebrico della radice reale di questo tipo di equazione, che risulta essere evidentemente la radice

n

ennesima di cioè , non è tuttavia necessario utilizzare l’algoritmo generale summenzionato, ma è sufficiente

a

a,

prendere in esame l’algoritmo di Newton relativo al calcolo delle radici reali.

−

n

Pertanto considerando la funzione (x) = , partendo dalla generica formula iterativa riguardante questo

x a

f

algoritmo, cioè: ( )

f x

= − con k = 0, 1, 2, 3 …………

k

x x

+1 ′

k k ( )

f x k

n

per la quale si ha: lim = per k → ∞ dove è la derivata di (x),

a

x f ’(x) f

k n

si può ottenere con una convergenza di tipo quadratico, il valore numerico di reale positiva .

a

n

Affinché poi si abbia convergenza verso la con un numero limitato di iterazioni risulta opportuno scegliere il

a

= n

valore iniziale di valore superiore al valore di a e possibilmente dello stesso ordine di grandezza di

x x a .

0

k −

⋅ 1

n

Poiché per questa equazione si ha = la formula iterativa dopo opportuni e semplici passaggi diventa [2]:

n x

f ’(x)

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

1 1

a a

( ) ⎜ ⎟

− ⋅ + +

1

⎢ ⎥

= che, per = 2 cioè per il calcolo di assume la nota formula =

x x

n x a x

n

+ +

−

1 1

1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦ 2

k k

k n k

n x

x k

k

Un semplicissimo programma di tipo didattico espresso in linguaggio Qbasic viene qui di seguito presentato e proposto:

CLS : PRINT "------ CALCOLO DELLA RADICE ennesima DI UN NUMERO -----"

’DEFDBL A-Z

INPUT "introdurre il numero di cui si cerca la radice ennesima: ",a

INPUT "quale valore di radice vuoi "; n

If a < 1 then xo = 1: goto icso

b = INT(a): s$ = STR$(b): lc = len(s$)-1: ’PRINT lc

c = lc / n :if c <> INT(c) then c = INT(c)+1: ’PRINT c

xo=1 : for k = 1 to c: xo=xo*10 : NEXT k

icso: x=xo : PRINT "xo="; x

m = n - 1

DO

y = x: d = 1

FOR k = 1 TO m: d = d * y: NEXT k

x = (m * y + a / d) / n

LOOP WHILE x<y

PRINT x

Nel programma sono state introdotte le opportune istruzioni atte a contemplare per il valore iniziale xo le condizioni sopra

enunciate.

Se si volessero ottenere i valori della radice in doppia precisione, vale a dire con la presentazione di 16 cifre decimali

anziché di 8, per i risultati basterebbe togliere il simbolo ’ dall’inizio della seconda riga.

Dato il semplice e corto listato esposto in linguaggio Qbasic, non risulta difficile trasformarlo in un listato relativo ad un

qualsiasi altro linguaggio evoluto. 1