Studi di Funzioni Razionali fratte (2)

9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1 2 3 4 5 6

-1 -2

-4

-6

-8

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 -10

Tempo di elaborazione: 2.2640283 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 1

x -

y = x

La funzione si semplifica nel seguente modo:

1

y x

= - x

Studio della seguente funzione:

2 1

x -

y = x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

-1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

; 0 1 ; 0

( -1 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim y

x -1 x asintoto obliquo

= -∞ ⇒ =

x

x→-∞ 2 x 0

lim x -1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

x

x→0 - 2 x 0

lim x -1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

x

x→0 + 2 y

lim x -1 x asintoto obliquo

= ∞ ⇒ =

x

x→∞

Asintoti

y x

=

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x -1

Discontinuitá di II specie

=0 = ∞

1 x

x→0 - 2

lim x -1 = -∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2 1

x +

y (1) (x)= 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

⨯

2

x ⨯

2 1

+

x ↗ ↗

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

y (2) (x)=- 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

-2 ⨯

3

x ︶ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

5 2 4

-4 -2 -5

-10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 6

4

2 1 2

-2 -1 -2

-4

-6

Tempo di elaborazione: 1.1282023 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

2 4

x -

y = 2 1

x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 1 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-1[ ⋃ ]-1;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = 1}

-{-1,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

-2 -1

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 4 ; 0 2 ; 0

( ) ( -2 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x -4 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -1

x→-∞ 2 x

lim x -4 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -1

2

x -1

x→-1 - 2 x

lim x -4 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -1

2

x -1

x→-1 + 2 x 1

lim x -4 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x -1

x→1 - 2 x 1

lim x -4 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

2

x -1

x→1 + 2 1 y 1

lim x -4 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -1

x→∞

Asintoti

y 1

=

x = -1

x 1

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x -4

Discontinuitá di II specie

=-1 = -∞

1 2

x -1

x→-1 - 2

lim x -4 = ∞

2

x -1

x→-1 +

f( -1 ) = ∄

2

x lim x -4

Discontinuitá di II specie

=1 = ∞

2 2

x -1

x→1 - 2

lim x -4 = -∞

2

x -1

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

6 x

y (1) (x)= 2 2

1) 1)

(x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ -1 ∞

⨯ ⨯

6 ⨯ ⨯

2

1)

(x - ⨯

x ⨯ ⨯

2

1)

(x + ↘ ↘ ︶ ↗ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 4 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 4 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

6

f x

1

( ) (x) = 2

2

x -1 2

6 x

3 +1

f 2

( ) (x) = - 3

2

x -1

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 6

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

6 1

x

3 +

y (2) (x)=- 3 3

1)

1) (x +

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

-∞ -1 ∞

-6 ⨯

3

1)

(x - ⨯ ⨯

3

1)

(x + ⨯ ⨯

2

3 1

+

x ︵ ︶ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 5

4

3

2

1 1 2 3

-3 -2 -1 -1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 5

4

3

2

1 1 2 3

-3 -2 -1 -1

Tempo di elaborazione: 1.1436332 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

4

x +

y = x

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

-4

0

-1

-2

-3 0 2

-6 -4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

; 0

( -4 )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

lim 1 y 1

x+4 asintoto orizzontale

= ⇒ =

x

x→-∞ x 0

lim x+4 asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

x

x→0 - x 0

lim x+4 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

x

x→0 + 1 y 1

lim x+4 asintoto orizzontale

= ⇒ =

x

x→∞

Asintoti

y 1

=

x 0

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá

x lim x+4

Discontinuitá di II specie

=0 = -∞

1 x

x→0 -

lim x+4 = ∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

4

y (1) (x)=- 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

-4 ⨯

2

x ↘ ↘

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

8

y (2) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

8 ⨯

3

x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 10

5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2.0

1.5

1.0

0.5 1

-5 -4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 2.0

1.5

1.0

0.5 1

-5 -4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 0.5524543 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

2 3 2

x x

- +

y = 2 1

x -

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 1 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-1[ ⋃ ]-1;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = 1}

-{-1,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

-1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3 4

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 2 ; 0

( -2 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x x+2

-3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -1

x→-∞ 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -1

2

x -1

x→-1 - 2 x

lim x x+2

-3 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -1

2

x -1

x→-1 + 2 12

lim x x+2

-3 = -

2

x -1

x→1 - 2 12

lim x x+2

-3 = -

2

x -1

x→1 + 2

lim 1 y 1

x x+2

-3 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -1

x→∞

Asintoti

y 1

=

x = -1

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 2

x lim x x+2

-3

Discontinuitá di II specie

=-1 = ∞

1 2

x -1

x→-1 - 2

lim x x+2

-3 = -∞

2

x -1

x→-1 +

f( -1 ) = ∄

2 12

x lim x x+2

-3

Discontinuitá di III specie

=1 = -

2 2

x -1

x→1 - 2 12

lim x x+2

-3 = -

2

x -1

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

3

y (1) (x)= 2

1)

(x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-∞ -1 ∞

⨯ ⨯

3 ⨯ ⨯

2

1)

(x + ↗ ↗ ↗

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilitá

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

6

y (2) (x)=- 3

1)

(x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

-∞ -1 ∞

-6 ⨯ ⨯

3

1)

(x + ︶ ︵ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 8

6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

-6

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2

1 1 2 3

-2 -1 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2

1 1 2 3

-2 -1 -1

-2

-3

Tempo di elaborazione: 0.5609456 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

3

y = 3 4

x x

-

Generalitá sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

3 4 0

x x

- ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-2[ ⋃ ]-2;0[ ⋃ ]0;2[ ⋃ ]2;∞[

oppure

 = 0, 2}

]-∞;2[⋃]0;∞[-{-2,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 2

-2

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3

lim 0 y 0 asintoto orizzontale

= ⇒ =

3

x x

-4

x→-∞ 3 x

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -2

3

x x

-4

x→-2 - 3 x

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -2

3

x x

-4

x→-2 + 3 x 0

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

3

x x

-4

x→0 - 3 x 0

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

3

x x

-4

x→0 + 3 x 2

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

3

x x

-4

x→2 - 3 x 2

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

3

x x

-4

x→2 + 3 0 y 0

lim asintoto orizzontale

= ⇒ =

3

x x

-4

x→∞

Asintoti

y 0

=

x = -2

x 0

=

x 2

=

Studio della continuitá

** **

Punti di discontinuitá 3

x lim

Discontinuitá di II specie

=-2 = -∞

1 3

x x

-4

x→-2 - 3

lim = ∞

3

x x

-4

x→-2 +

f( -2 ) = ∄

3

x lim

Discontinuitá di II specie

=0 = ∞

2 3

x x

-4

x→0 - 3

lim = -∞

3

x x

-4

x→0 +

f( 0 ) = ∄

3

x lim

Discontinuitá di II specie

=2 = -∞

3 3

x x

-4

x→2 - 3

lim = ∞

3

x x

-4

x→2 +

f( 2 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilitá

** **

2

3 4

x

3 -

y (1) (x)=- 2 2

2 2)

2) x (x +

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

2 2

- 0 2

-∞ -2 ∞

3 3

-3 ⨯ ⨯ ⨯

2

2)

(x - ⨯ ⨯ ⨯

2

x ⨯ ⨯ ⨯

2

2)

(x + ⨯ ⨯

2

3 4

-

x ↘ ↘ ︶ ↗ ↗ ︵ ↘ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

2 9 3

;

- Minimo relativo

  →

16

3

2 9 3

; - Massimo relativo

  →

16

3

Creato da Roberto Caria per skuola.net