Semplificare la seguente espressione logaritmica:
[math] log_ left(frac{1}{2}
ight) sqrt[5]{ frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}} }[/math]
ight) sqrt[5]{ frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}} }[/math]
Svolgimento
Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici;sappiamo che la radice di un numero pu essere scritta in questo modo:
[math] \sqrt{a} = a^{1/2 }[/math]
quindi:
[math]log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}}
ight)^{frac{1}{5}}[/math]
ight) left( frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}}
ight)^{frac{1}{5}}[/math]
Inoltre, sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi
[math] \\log_a(b^k) = k \\log_a(b)[/math]
, possiamo scrivere:
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}}
ight)[/math]
ight) left( frac{frac{1}{4} sqrt[3]{ 2 sqrt{8}}}{2 sqrt{2}}
ight)[/math]
Seguiamo lo stesso procedimento per le altre radici:
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{frac{1}{4} ( 2 sqrt{8})^{frac{1}{3}} }{2 2^{frac{1}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{frac{1}{4} ( 2 sqrt{8})^{frac{1}{3}} }{2 2^{frac{1}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{frac{1}{2^2} ( 2 8^{frac{1}{2}})^{frac{1}{3}} }{2 2^{frac{1}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{frac{1}{2^2} ( 2 8^{frac{1}{2}})^{frac{1}{3}} }{2 2^{frac{1}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2 2^{ 3 frac{1}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ 1 + frac{1}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2 2^{ 3 frac{1}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ 1 + frac{1}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2 2^{ frac{3}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2 2^{ frac{3}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2^{ 1 + frac{3}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2^{ 1 + frac{3}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2^{ frac{5}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} ( 2^{ frac{5}{2}})^{frac{1}{3}} }{ 2^{ frac{3}{2}}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} 2^{ frac{5}{2} frac{1}{3}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} 2^{ frac{5}{2} frac{1}{3}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2} 2^{ frac{5}{6}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2} 2^{ frac{5}{6}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{-2 + frac{5}{6} }}{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{-2 + frac{5}{6} }}{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( frac{ 2^{- frac{7}{6}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
ight) left( frac{ 2^{- frac{7}{6}} }{ 2^{frac{3}{2}} }
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_left(frac{1}{2}
ight) left( 2^{- frac{7}{6} - frac{3}{2}}
ight)[/math]
ight) left( 2^{- frac{7}{6} - frac{3}{2}}
ight)[/math]
[math]frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- frac{16}{6}} )[/math]
[math]frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- frac{8}{3}} )[/math]
Sapendo che il logaritmo, per definizione, l'sponente da dare alla base per ottenere l'rgomento, abbiamo che:
[math]frac{1}{5} log_{(2^{-1})} ( 2^{- frac{8}{3}} ) = frac{1}{5} frac{8}{3} = frac{8}{15}[/math]
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