Semplifica la seguente espressione numerica ed esprimi il risultato in modo che gli eventuali denominatori non contengano radicali.
[math][/math]left[frac{3 sqrt{12} - 3 sqrt{2}}{sqrt{18}} + sqrt[4]{(frac{3}{2})^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
Svolgimento
Cominciamo portando fuori radice:
[math][/math] left[ frac{3 sqrt{3 4} - 3 sqrt{2}}{sqrt{2 9}} + sqrt[4]{ left(frac{3}{2}
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] left[frac{3 2 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + sqrt[4]{ left(frac{3}{2}
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + sqrt[4]{ left(frac{3}{2}
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight)^2} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
Semplifichiamo ora lindice della seconda radice con lesponente del radicando:
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + sqrt[2]{frac{3}{2}} (sqrt{6} - 2)
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
Svolgiamo la moltiplicazione:
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + sqrt{frac{3}{2}} sqrt{6} - sqrt{frac{3}{2}} 2
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + sqrt{frac{3}{2} 6} - 2 sqrt{frac{3}{2}}
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2}}{3 sqrt{2}} + 3 - 2 sqrt{frac{3}{2}}
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo allinterno della parentesi:
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{3} - 3 sqrt{2} + 9 sqrt{2} - 6 sqrt{3}}{3 sqrt{2}}
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] left[frac{ 6 sqrt{2}}{3 sqrt{2}}
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
ight] frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
[math][/math] 2 frac{1}{(sqrt{2} - 2)^2} [math][/math]
Svolgiamo il quadrato:
[math] 2 frac(1)(2 + 4 - 4\sqrt2) [/math]
[math] 2 frac(1)(6 - 4\sqrt2) [/math]
Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:
[math] 2 frac(1)(2(3 - 2\sqrt2)) = frac{1}(3 - 2\sqrt2) [/math]
Razionalizziamo:
[math] frac(1)(3 - 2\sqrt2) frac{3 + 2 \sqrt2}{3 + 2 \sqrt2} = frac{3 + 2 \sqrt2}((3 - 2 \sqrt2){3 + 2 \sqrt2}) =[/math]
[math] frac(3 + 2 \sqrt2){9 - 8} = 3 + 2 \sqrt2 [/math]
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