Semplificare la seguente espressione logaritmica:
[math] log_3 (sqrt[5]{27 sqrt[3]{3}}) [/math]
Svolgimento
Cerchiamo di semplificare la scrittura togliendo le radici; sappiamo che la radice di un numero pu essere scritta in questo modo:[math] \sqrt{a} = a^{1/2} [/math]
Quindi, si ha:
[math] log_3 ( 27 sqrt[3]{3})^{frac{1}{5}} [/math]
Inoltre, sfruttando la seguente proprietà dei logaritmi
[math]\\log_a(b^k) = k \\log_a (b)[/math]
, possiamo scrivere:
[math] frac{1}{5} log_3 ( 27 sqrt[3]{3}) [/math]
[math] frac{1}{5} log_3 ( 3^3 sqrt[3]{3}) [/math]
Seguiamo lo stesso procedimento per la seconda radice:
[math] frac{1}{5} log_3 ( 3^3 3^{frac{1}{3}}) =frac{1}{5} log_3 ( 3^{3 + frac{1}{3}}) [/math]
[math] frac{1}{5} log_3 ( 3^{frac{10}{3}}) [/math]
Sapendo che il logaritmo, per definizione, l'esponente da dare alla base per ottenere largomento, abbiamo che:
[math] frac{1}{5} log_3 ( 3^{frac{10}{3}}) = frac{1}{5} frac{10}{3} = frac{2}{3} [/math]
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