Proprietà commutativa: regole

In questo appunto vedremo una delle proprietà comuni all'addizione (somma) e alla moltiplicazione (prodotto), ossia la proprietà commutativa. Nonostante questa proprietà sia effettivamente evidente (e nonostante essa sembri alquanto inutile), può aiutarci a semplificare dei conti mentali.

Proprietà commutativa: regola

Una cosa importante relativa a questa proprietà è che non vale sempre: vale solo per l'addizione e per la moltiplicazione, ma non per la sottrazione e la divisione.
La regola della proprietà commutativa è la seguente: cambiando l'ordine dei addendi della addizione, la somma non cambia.
Per la moltiplicazione, la regola è praticamente la stessa: cambiando l'ordine dei fattori della moltiplicazione, il prodotto non cambia.

Esempi di applicazione

Vediamo degli esempi di applicazione per quanto riguarda:

• la somma:
  
  [math]190 + 50 = 240 \rightarrow
  50 + 190 = 240[/math]
  [math] 1120 + 80 = 1200 \rightarrow
  80 + 1120 = 1200 [/math]
• la moltiplicazione:
  
  [math] 7 \cdot 50 = 350 \rightarrow
  50 \cdot 7 = 350 [/math]
  [math]100 \cdot 3000 = 300000 \rightarrow
  3000 \cdot 100 = 300000[/math]

Proprietà commutativa: errori da non fare

con le operazioni di:

• sottrazione:
  
  [math]120 - 50 = 70 \rightarrow
  50 - 120 = -70[/math]
  [math] 385 - 128 = 257 \rightarrow
  128 - 385 = -257 [/math]
• divisione:
  
  [math] 6 : 3 = 2 \rightarrow
  3 : 6 = 0.5 [/math]
  [math] 7 : 2 = 3.5 \rightarrow
  2 : 7 = 0.2857142857 \dots[/math]

Come si può ben notare, in questi quattro casi (due di sottrazione e due di divisione) nessuno di essi ci ha restituito lo stesso risultato invertendo l'ordine dei numeri con cui si lavora. Quindi, in sintesi, la proprietà commutativa vale solo per addizione e moltiplicazione, e non per sottrazione e divisione.

Per approfondimenti sulle proprietà delle operazioni vedi anche qua

Esercizio

Stabilire in quali delle seguenti somme è stata applicata la proprietà commutativa.

• a.
  [math] 85 + 73 + 28 = 85 + 101 [/math]
• b.
  [math] 36 + 78 + 14 + 2 = 2 + 78 + 14 + 36[/math]
• c.
  [math] 58 + 72 + 34 = 34 + 58 + 72 [/math]
• d.
  [math] 18 + 29 + 3 + 17 = 18 + 32 + 17 [/math]
• e.
  [math] 51 + 34 = 51 + 33 + 1 [/math]
• f.
  [math] 65 + 23 + 12 = 12 + 23 + 65[/math]
• g.
  [math] 28 + 32 + 14 = 60 + 14 [/math]
• h.
  [math] 35 + 89 + 23 + 16 = 35 + 89 + 39 [/math]

Soluzione con spiegazione dell'esercizio

• a. NO, non è stata applicata, è stata invece applicata la proprietà associativa in quanto è stato sostituito 73+28 con 101;
• b. SI, è stata applicata, infatti in entrambi i membri compaiono 36, 78, 14, 2... ma solo in ordine diverso rispetto al membro di sinistra;
• c. SI, è stata applicata, il 58 è passato in seconda posizione, il 72 in terza posizione e il 34 in prima posizione;
• d. NO, non è stata applicata, è stata applicata la proprietà associativa perché il 29+3 è stato sostituito dal 32;
• e. NO, è stata invece applicata la proprietà dissociativa, poiché al posto di 34 è stato ora scritto 33+1;
• f. SI, è stata applicata; infatti il membro di destra contiene i numeri del membro di sinistra, ma in ordine completamente capovolto;
• g. NO, non è stata applicata, è stata applicata invece la proprietà associativa perché la somma 28+32 è stata sostituita con 60;
• h. NO, non è stata applicata, è stata applicata la proprietà associativa perché è stato sostituito 23+16 con 39.

Per approfondimenti sulla proprietà associativa vedi anche qua