Prodotti notevoli – Cenni generali

Somma per differenza (prodotto della somma di due termini per la loro differenza)

Il prodotto notevole della somma per differenza ci dice che se moltiplichiamo un polinomio come (a + b) per un altro come (a-b) otterremo (a^2 – b^2).
Questo è dimostrabile, perché se si svolge il prodotto tra i polinomi si otterrà:
(a + b) X (a – b) = a^2 – ab + ab – b^2 → a^2 – b^2

Questo vale anche in presenza di termini negativi, ma per rendere più semplice il tutto basta notare che un termine resta uguale sia nel 1° che nel 2° polinomio (nel caso precedente la a), mentre un altro cambia (nel caso precedente la b).

Quadrato di binomio

Il quadrato di binomio dice che se si eleva al quadrato un polinomio come (a + b), si otterrà come risultato la somma tra il quadrato del primo termine, il doppio prodotto tra i due termini e il quadrato del secondo termine.
In cifre: (a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2.

Tutto ciò vale per tutti i valori, ma qualora a legare i due termini fosse un segno negativo si otterrebbe: (a – b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Da questo si evince che i quadrati dei termini saranno sempre positivi, mentre l'unico che potrebbe cambiare di segno è il doppio prodotto: infatti, di base, se i termini sono concordi (entrambi positivi o entrambi negativi) allora sarà positivo anche il loro doppio prodotto, mentre se sono discordi (uno negativo e uno positivo) allora esso sarà negativo.

Cubo di binomio

Il prodotto notevole del cubo di binomio ci dice che:

(a + b)^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, cioè che se si eleva al cubo un binomio, allora si otterrà come risultato la somma tra il cubo del primo termine, il triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo termine, il triplo prodotto tra il primo termine e il quadrato del secondo e il cubo del secondo termine.

Quadrato di trinomio

Invece, se si eleva al quadrato un trinomio come (a + b + c), si otterrà:

(a + b + c)^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2ac + 2ab + 2bc, cioè la somma tra i quadrati dei tre termini e le tre combinazioni di tripli prodotti possibili.

Triangolo di Tartaglia e potenze n-esime di un binomio

Il triangolo di Tartaglia è una sorta di stratagemma che permette di calcolare abbastanza rapidamente una qualsiasi potenza del quadrato di binomio.
È costruito in questo modo (continua all'infinito)

1
1 1
(a + b)^2 1 2 1
(a + b)^3 1 3 3 1
(a + b)^4 1 4 6 4 1
(a + b)^5 1 5 10 10 5 1
(a + b)^6 1 6 15 20 15 6 1
(a + b)^7 1 7 21 35 35 21 7 1

I numeri che si formano nel triangolo (basta porre agli estremi sempre l'1 e poi, sapendo che per ogni riga si otterrà un numero di fattori uguale all'esponente del binomio, si sommano a due a due i numeri della riga sopra --> es. nella quarta riga per ottenere il 3 si sommano l'1 e il 2, e la stessa cosa per quella successiva: 1+3=4, 3+3=6) sono i coefficienti, numeri per cui bisogna moltiplicare le variabili; successivamente, si vanno a disporre le variabili seguendo queste due regole:

- da sinistra verso destra, la a decresce mentre la b cresce
- si inizia elevando la a all'esponente dell'elevamento del binomio

Esempi:

(a + b)^2 -------> 1 a^2 b^0 2 a^1 b^1 1 a^0 b^2 =

a^2 + 2ab + b^2


(a + b)^3 ---------> 1 a^3 b^0 3 a^2 b^1 3 a^1 b^2 1 a^0 b^3
=
a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

Nella pratica, basta seguire questo schema sostituendovi i valori assegnati.