Polinomio generale locatore d'errore per codici ciclici binari

C

⇔ 6

Inoltre, c’è un errore a 0 e in tal caso la locazione

(s) =

d’errore è a s̄).

(

Sia ora C un codice con t 2, s̄ una sindrome correggibile e

= 2

¯ ¯ L

z z le locazioni d’errore. Allora z) z az b, dove

, (X , = + +

1 2 C

¯ ¯ ¯ ¯

∈

a, b e b s̄) z z a s̄) z z .

[x] ( = , ( = +

F

2 1 2 1 2

⇔ 6

Inoltre, ci sono due errori b s̄) 0 e c’è un errore soltanto

( =

⇔ 6

b s̄) 0 e a s̄) 0.

( = ( = ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema

Sia C un codice con capacità di correzione d’errore t 1 e sia

=

s̄ una sindrome correggibile. Allora il polinomio generale

L ∈

locatore d’errore per C è z) z a, dove a

(X , = + [x].

F

2

C

⇔ 6

Inoltre, c’è un errore a 0 e in tal caso la locazione

(s) =

d’errore è a s̄).

(

Sia ora C un codice con t 2, s̄ una sindrome correggibile e

= 2

¯ ¯ L

z z le locazioni d’errore. Allora z) z az b, dove

, (X , = + +

1 2 C

¯ ¯ ¯ ¯

∈

a, b e b s̄) z z a s̄) z z .

[x] ( = , ( = +

F

2 1 2 1 2

⇔ 6

Inoltre, ci sono due errori b s̄) 0 e c’è un errore soltanto

( =

⇔ 6

b s̄) 0 e a s̄) 0.

( = ( = ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema

Sia C un codice con capacità di correzione d’errore t 1 e sia

=

s̄ una sindrome correggibile. Allora il polinomio generale

L ∈

locatore d’errore per C è z) z a, dove a

(X , = + [x].

F

2

C

⇔ 6

Inoltre, c’è un errore a 0 e in tal caso la locazione

(s) =

d’errore è a s̄).

(

Sia ora C un codice con t 2, s̄ una sindrome correggibile e

= 2

¯ ¯ L

z z le locazioni d’errore. Allora z) z az b, dove

, (X , = + +

1 2 C

¯ ¯ ¯ ¯

∈

a, b e b s̄) z z a s̄) z z .

[x] ( = , ( = +

F

2 1 2 1 2

⇔ 6

Inoltre, ci sono due errori b s̄) 0 e c’è un errore soltanto

( =

⇔ 6

b s̄) 0 e a s̄) 0.

( = ( = ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema

Sia C un codice con capacità di correzione d’errore t 1 e sia

=

s̄ una sindrome correggibile. Allora il polinomio generale

L ∈

locatore d’errore per C è z) z a, dove a

(X , = + [x].

F

2

C

⇔ 6

Inoltre, c’è un errore a 0 e in tal caso la locazione

(s) =

d’errore è a s̄).

(

Sia ora C un codice con t 2, s̄ una sindrome correggibile e

= 2

¯ ¯ L

z z le locazioni d’errore. Allora z) z az b, dove

, (X , = + +

1 2 C

¯ ¯ ¯ ¯

∈

a, b e b s̄) z z a s̄) z z .

[x] ( = , ( = +

F

2 1 2 1 2

⇔ 6

Inoltre, ci sono due errori b s̄) 0 e c’è un errore soltanto

( =

⇔ 6

b s̄) 0 e a s̄) 0.

( = ( = ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

I codici che prendiamo in considerazione hanno lunghezza n

≤

tale che n 61, n dispari e sono, come già detto sopra, ciclici e

binari (cioè abbiamo e q) 1). Enunceremo ora

= (n, =

F F

q 2

un teorema che dà delle relazioni tra i polinomi locatori d’errore

di codici equivalenti e tra sottocodici di un codice dato. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

I codici che prendiamo in considerazione hanno lunghezza n

≤

tale che n 61, n dispari e sono, come già detto sopra, ciclici e

Enunceremo ora

binari (cioè abbiamo e q) 1).

= (n, =

F F

q 2

un teorema che dà delle relazioni tra i polinomi locatori d’errore

di codici equivalenti e tra sottocodici di un codice dato. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema 0 00

Siano C, C C tre codici aventi stessa lunghezza e stessa

, L

L L i loro

capacità di correzione d’errore t. Siano ,

, 00

0 C

C C

rispettivi polinomi generali locatori d’errore.

0

Se C è un sottocodice di C , allora possiamo assumere

L L .

= 0

C C 00

Se C è equivalente a C tramite la permutazione

n n

7−→ , allora possiamo decodificare C usando

φ : (F ) (F )

2 2

L (tramite φ).

00

C ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema 0 00

Siano C, C C tre codici aventi stessa lunghezza e stessa

, L

L L i loro

capacità di correzione d’errore t. Siano ,

, 00

0 C

C C

rispettivi polinomi generali locatori d’errore.

0

Se C è un sottocodice di C , allora possiamo assumere

L L .

= 0

C C 00

Se C è equivalente a C tramite la permutazione

n n

7−→ , allora possiamo decodificare C usando

φ : (F ) (F )

2 2

L (tramite φ).

00

C ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Teorema 0 00

Siano C, C C tre codici aventi stessa lunghezza e stessa

, L

L L i loro

capacità di correzione d’errore t. Siano ,

, 00

0 C

C C

rispettivi polinomi generali locatori d’errore.

0

Se C è un sottocodice di C , allora possiamo assumere

L L .

= 0

C C 00

Se C è equivalente a C tramite la permutazione

n n

7−→ , allora possiamo decodificare C usando

φ : (F ) (F )

2 2

L (tramite φ).

00

C ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Definizione x

≤ ≤ ≤ ≤

Siano 0 j n e 1 n numeri interi. Denotiamo con J

µ j,µ

· · ·

l’ideale in z x] generato da :

[z , ,

F µ

2 1 µ

n o

m

j

X 2 −

− x

z x x

,

l

l=1

n o

n

∪ − | ≤ ≤ ∪ | ≤ ≤ ≤

z 1 1 l p n, z z 1 l l .

µ , µ

l e

l l

e x

N.B. Notiamo che la varietà di un ideale del tipo J j,µ

corrisponde a errori di peso esattamente rispetto a una sola

µ,

sindrome. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

Definizione x

≤ ≤ ≤ ≤

Siano 0 j n e 1 n numeri interi. Denotiamo con J

µ j,µ

· · ·

l’ideale in z x] generato da :

[z , ,

F µ

2 1 µ

n o

m

j

X 2 −

− x

z x x

,

l

l=1

n o

n

∪ − | ≤ ≤ ∪ | ≤ ≤ ≤

z 1 1 l p n, z z 1 l l .

µ , µ

l e

l l

e x

N.B. Notiamo che la varietà di un ideale del tipo J j,µ

corrisponde a errori di peso esattamente rispetto a una sola

µ,

sindrome. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

ν x ∩ ⊂

Quando 2, abbiamo J z T , dove:

µ = [z , ]

F

2 1 2

j,2 n

2

{β ∈ |

∈ | 6 e R 1}.

T R = β =

= (β , β ) β = β F

1 2 1 2 ν

Nella notazione sopra, denotiamo con la varietà di un

(I)

ideale I.

Dalle proprietà della varietà delle sindromi, abbiamo la

proposizione che segue. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

ν x ∩ ⊂

Quando 2, abbiamo J z T , dove:

µ = [z , ]

F

2 1 2

j,2 n

2

{β ∈ |

∈ | 6 e R 1}.

T R = β =

= (β , β ) β = β F

1 2 1 2 ν

Nella notazione sopra, denotiamo con la varietà di un

(I)

ideale I.

Dalle proprietà della varietà delle sindromi, abbiamo la

proposizione che segue. ≤

Polinomio generale locatore d’errore per codici ciclici binari con lunghezza n 63 e capacità di correzione d’errore t 2

<

Parte prima

Alcuni risultati di rilievo

Alcuni risultati di rilievo

ν x ∩ ⊂

Quando 2, abbiamo J z T , dove:

µ = [z , ]

F

2 1 2

j,2 n

2

{β ∈ |

∈ | 6 e R 1}.

T R = β =

= (β , β ) β = β F

1 2 1 2 ν

Nella notazione sopra, denotiamo con la varietà di un

(I)

ideale I.

Dalle proprietà della varietà delle sindromi, abbiamo la

proposizione che segue. ≤

Polinomio generale locatore d&rsqu