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Lineare dipendenza e indipendenza di vettori

Definizioni

I vettori v1, . . . , vr ∈ V si dicono linearmente dipendenti se esiste una r-pla di scalari (λ1, . . . , λr) non tutti nulli tale che Pr i=1 λi vi = ¯0.
I vettori v1, . . . , vr ∈ V si dicono invece linearmente indipendenti se Xr i=1 λi vi = ¯0 ⇐⇒ λi = 0 ∀i ∈ {1, . . . ,r}.
Un sottoinsieme X di V si dice linearmente indipendente se comunque si
prendano r > 0 vettori di X, essi risultano linearmente indipendenti. In caso
contrario X si dice linearmente dipendente.

Osservazioni

- v1, . . . , vr sono linearmente dipendenti se e solo se non sono linearmente
indipendenti
- v ∈ V `e linearmente dipendente se e solo se v = ¯0. Quindi ogni sottoinsieme di V che contiene il vettore nullo `e linearmente dipendente.
-Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali

Proposizione

Dati n vettori v1, . . . , vn ∈ V, se m (m < n) di essi sono linearmente dipendenti, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti.

Teorema (di caratterizzazione degli insiemi linearmente dipendenti)

Un sottoinsieme X di V `e linearmente dipendente se e solo se esiste un vettore x ∈ X tale che x ∈ L(X − {x}) (cio`e x `e combinazione lineare di altri vettori di X). In questo caso si ha L(X) = L(X − {x}).
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