Calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e - (1 + x)^{\frac{1}{x}}}{x}[/math]
Il limite proposto si presenta sotto la forma
[math]\frac{0}{0}[/math]
. Dalla definizione di logaritmo [math]t = e^{ln(t)}[/math]
per ogni [math]t>0[/math]
, pertanto il limite si può riscrivere nel seguente modo
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}}{x}[/math]
Raccogliendo al numeratore un fattore
[math]-e[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{x}[/math]
Moltiplicando e dividendo per
[math]ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1}{x} =[/math]
[math]= \lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{x} ln(1 + x) - 1}{x} =[/math]
[math]=\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{ln(1 + x) - x}{x^2}[/math]
Conviene calcolare
[math]\lim_{x \to 0} \frac{ln(1 + x) - x}{x^2}[/math]
utilizzando il teorema di de l'Hopital.
Derivando a numeratore e denominatore si ottiene
[math]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - x - 1}{2x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(x + 1)} = - \frac{1}{2}[/math]
Ricordando il limite notevole
[math]\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1[/math]
e osservando che per
[math]x \to 0[/math]
risulta [math]ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1 \to 0[/math]
, allora
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} = 1[/math]
pertanto
[math]\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{ln(1 + x) - x}{x^2} = (-e) \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{e}{2}[/math]
FINE
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